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Hallo,
ich knabbere grad an einer Aufgabe, wo ich denke, dass ich den chinesichen Restsatz anwenden muss:
Man beweise: Zu jedem [mm] k\in\IN [/mm] gibt es k+1 aufeinanderfolgende Zahlen aus [mm] \IN, [/mm] von denen jede durch ein Quadrat größer 1 teilbar ist.
Die Idee ist nun den chinesichen Restsatz zu verwenden. Eine Zahl k teilbar durch ein Quadrat würde ja bedeuten [mm] k\equiv [/mm] 0 mod [mm] n^2 [/mm] für n>1. Wenn ich hier aber z.B. k=5 einsetze, dann stimmt das doch schon nicht mehr oder sehe ich das falsch? Wie geht also der Beweis?
Bitte um Hilfe.
VG Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Fr 25.11.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Daniel
Du hast Recht, man kann die Aufgabe mit dem Chinesischen Restsatz lösen.
Der Restsatz geht folgendermassen.
Seien [mm] $n_1,n_2,\dots,n_k$, [/mm] paarweise teilerfremde Zahlen und seien [mm] $r_1,r_2,\dots,r_k$ [/mm] beliebige Reste.
Dann gibt es eine Zahl m so, dass
[mm] $m=r_1\ \mathrm{mod}\ n_1$
[/mm]
[mm] $m=r_2 [/mm] \ [mm] \mathrm{mod}\ n_2$,
[/mm]
...
[mm] $m=r_k [/mm] \ [mm] \mathrm{mod}\ n_k$
[/mm]
Es ist klar, dass die n's als paarweise teilerfremde Quadratzahlen gewählt werden, und m soll die kleinste der k aufeinanderfolgenden Zahlen sein (wenn es mit k geht, dann auch mit k+1).
Jetzt musst du dir überlegen, wie du die Reste (die r's) wählen musst, damit
m durch [mm] $n_1$ [/mm] teilbar, m+1 durch [mm] $n_2$ [/mm] teilbar ....
mfG Moudi
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Hallo,
aber die Reste müssen doch gerade 0 sein, wenn z.B. m durch [mm] n_{1} [/mm] usw. teilbar sein soll, oder nicht?
Ich verstehe noch nicht so ganz, ob ich hier systematische alle Zahlen aufschreiben oder etwas anderes tun soll. Wenn m die kleinste der Zahlen sein soll, dann muss m doch 1 sein oder? 1 ist doch die kleinste natürliche Zahl. Das verwirrt mich alles ein wenig. Wenn k=5, dann sind als aufeinanderfolgende Zahlen 1,2,3,4,5 gemeint oder sehe ich das komplett falsch?
Hier vielleicht meine Idee:
Nach der allg. Formel von moudis Post gilt ja
1=0 mod [mm] n^{2} [/mm] (n bel., da 1 durch alle [mm] n\in\IN [/mm] teilbar)
2=0 mod [mm] 2^{2}
[/mm]
3=0 mod [mm] 3^{2}
[/mm]
4=0 mod [mm] 4^{2}
[/mm]
...
Die Quadrate sind sicher paarweise teilerfremd und man erwischt dadurch alle natürlichen Zahlen. Ist das völlig falsch oder vllt. eine gute Idee?
Viele Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Fr 25.11.2005 | | Autor: | statler |
Hallo Daniel!
> aber die Reste müssen doch gerade 0 sein, wenn z.B. m durch
> [mm]n_{1}[/mm] usw. teilbar sein soll, oder nicht?
>
> Ich verstehe noch nicht so ganz, ob ich hier systematische
> alle Zahlen aufschreiben oder etwas anderes tun soll. Wenn
> m die kleinste der Zahlen sein soll, dann muss m doch 1
> sein oder? 1 ist doch die kleinste natürliche Zahl. Das
> verwirrt mich alles ein wenig. Wenn k=5, dann sind als
> aufeinanderfolgende Zahlen 1,2,3,4,5 gemeint oder sehe ich
> das komplett falsch?
>
> Hier vielleicht meine Idee:
>
> Nach der allg. Formel von moudis Post gilt ja
>
> 1=0 mod [mm]n^{2}[/mm] (n bel., da 1 durch alle [mm]n\in\IN[/mm] teilbar)
> 2=0 mod [mm]2^{2}[/mm]
> 3=0 mod [mm]3^{2}[/mm]
> 4=0 mod [mm]4^{2}[/mm]
> ...
>
> Die Quadrate sind sicher paarweise teilerfremd und man
> erwischt dadurch alle natürlichen Zahlen. Ist das völlig
> falsch oder vllt. eine gute Idee?
[mm] 2^{2} [/mm] und [mm] 4^{2} [/mm] sind doch nicht teilerfremd! Du brauchst k (oder meinetwegen auch k+1) teilerfremde Quadrate. Das ist echt kein Problem, du nimmst einfach die Quadrate von verschiedenen Primzahlen [mm] p_{1} [/mm] bis [mm] p_{k}, [/mm] davon gibt es sogar [mm] \infty [/mm] viele.
Jetzt guck mal:
[mm] (p_{1})^{2} [/mm] soll m teilen, das gibt die Kongruenz
m [mm] \equiv [/mm] 0 mod [mm] (p_{1})^{2}
[/mm]
[mm] (p_{2})^{2} [/mm] soll m+1 teilen, das gibt die Kongruenz
m+1 [mm] \equiv [/mm] 0 mod [mm] (p_{2})^{2} [/mm] od. anders
m [mm] \equiv [/mm] -1 mod [mm] (p_{2})^{2}
[/mm]
Nun klar, wie es weitergeht?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo,
naja ich nehme mal an, dass dann weiter gilt
m+2= mod [mm] (p_{3})^{2} [/mm] und immer so weiter eben bis k+1. Mit dem Chinesischen Restsatz folgt dann, dass solch ein m existiert und eindeutig ist.
Vielen Dank.
Grüße
Daniel
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