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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:02 Sa 21.05.2011 | | Autor: | Torste |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle ganzzahligen Lösungen des folgenden Systems simultaner Kongruenzen finden:
x [mm] \equiv [/mm] 1(mod 3)
x [mm] \equiv [/mm] 2(mod 5)
x [mm] \equiv [/mm] 4(mod 6)
x [mm] \equiv [/mm] -6(mod 7) |
Hallo,
ich denke im Prinzip ist die Aufgabe nicht allzu schwer - dennoch habe ich sie noch nicht komplette kapiert:
Da ich mod. 3 und 6 betrachte, habe ich es umgeschrieben zu:
x [mm] \equiv [/mm] 0(mod 2)
x [mm] \equiv [/mm] 1(mod 3)
x [mm] \equiv [/mm] 2(mod 5)
x [mm] \equiv [/mm] -6(mod 7)
Für meine [mm] d_i,j [/mm] habe ich dann folgendes gefunden:
[mm] d_1,2=4, d_2,1=-3, [/mm]
[mm] d_1,3=6, d_3,1=-5, [/mm]
[mm] d_1,4=8, d_4,1=-7,
[/mm]
[mm] d_2,3=6, d_3,2=-5, [/mm]
[mm] d_2,4=15, d_4,2=-14, [/mm]
[mm] d_3,4=-15, d_4,3=-14
[/mm]
Dann gilt dür die [mm] e_i:
[/mm]
[mm] e_1=192
[/mm]
[mm] e_2=-270
[/mm]
[mm] e_3=375
[/mm]
[mm] e_4=-1372
[/mm]
Dann x= 8712 (mod 210)(=102)
Das Problem ist jetzt aber,dass nicht gilt
x [mm] \equiv [/mm] 1(mod 3)
Der Rest wäre ja in diesem Fal Null und nicht Einsl!
Also muss irgendwo ein Fehler sein und ich finde ihn nicht, obwohl ich schon einige Male gesucht habe!
Kann mir da bitte jemand helfen?
Gruß
Torste
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Hallo Torste,
das musst Du mal genauer vorrechnen.
Das Ergebnis ist jedenfalls [mm] 22\mod{210}.
[/mm]
> Bestimmen Sie alle ganzzahligen Lösungen des folgenden
> Systems simultaner Kongruenzen finden:
> x [mm]\equiv[/mm] 1(mod 3)
> x [mm]\equiv[/mm] 2(mod 5)
> x [mm]\equiv[/mm] 4(mod 6)
> x [mm]\equiv[/mm] -6(mod 7)
Die letzte Kongruenz sollte man vielleicht besser als [mm] x\equiv 1\mod{7} [/mm] notieren.
> ich denke im Prinzip ist die Aufgabe nicht allzu schwer -
> dennoch habe ich sie noch nicht komplette kapiert:
>
> Da ich mod. 3 und 6 betrachte, habe ich es umgeschrieben
> zu:
> x [mm]\equiv[/mm] 0(mod 2)
> x [mm]\equiv[/mm] 1(mod 3)
> x [mm]\equiv[/mm] 2(mod 5)
> x [mm]\equiv[/mm] -6(mod 7)
Ja, soweit gut. Du hättest statt der ersten beiden Kongruenzen hier auch einfach [mm] x\equiv 4\mod{6} [/mm] nehmen können, aber egal.
> Für meine [mm]d_i,j[/mm] habe ich dann folgendes gefunden:
> [mm]d_1,2=4, d_2,1=-3,[/mm]
> [mm]d_1,3=6, d_3,1=-5,[/mm]
> [mm]d_1,4=8, d_4,1=-7,[/mm]
> [mm]d_2,3=6, d_3,2=-5,[/mm]
> [mm]d_2,4=15, d_4,2=-14,[/mm]
> [mm]d_3,4=-15, d_4,3=-14[/mm]
Die solltest Du eben mal vorrechnen.
Indizes mit mehr als einem Zeichen gehören zwischen geschweifte Klammern. [mm] d_{1,2} [/mm] schreibt man d_{1,2}.
> Dann gilt dür die [mm]e_i:[/mm]
> [mm]e_1=192[/mm]
> [mm]e_2=-270[/mm]
> [mm]e_3=375[/mm]
> [mm]e_4=-1372[/mm]
>
> Dann x= 8712 (mod 210)(=102)
>
>
> Das Problem ist jetzt aber,dass nicht gilt
> x [mm]\equiv[/mm] 1(mod 3)
> Der Rest wäre ja in diesem Fal Null und nicht Eins!
Richtig erkannt.
> Also muss irgendwo ein Fehler sein und ich finde ihn
> nicht, obwohl ich schon einige Male gesucht habe!
> Kann mir da bitte jemand helfen?
Wir finden ihn auch nur, wenn Du zeigst, wie Du zu Deinen Ergebnissen gekommen bist. Leider haben wir zur Zeit keine Hellseher unter unseren Freiwilligen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Sa 21.05.2011 | | Autor: | Torste |
Schade - noch keine Hellseher^^
Dann muss ich das wohl mal etwas ausführen!
Also:
Wir haben gelernt, dass generell gelten muss [mm] d_{i,j}+d_{j,i}=1, [/mm] wobei [mm] d_{i,j} \in I_i
[/mm]
Also:
[mm] d_{1,2}=4, d_{2,1}=-3, [/mm] da 4-3=1
[mm] d_{1,3}=6, d_{3,1}=-5, [/mm]
[mm] d_{1,4}=8, d_{4,1}=-7,
[/mm]
[mm] d_{2,3}=6, d_{3,2}=-5, [/mm]
[mm] d_{2,4}=15, d_{4,2}=-14, [/mm]
[mm] d_{3,4}=15, d_{4,3}=-14
[/mm]
Für die [mm] e_i [/mm] gilt [mm] e_i=\produkt_{j\not=i}^{}d_{j,i}, [/mm] also:
[mm] e_1=4*6*8=192
[/mm]
[mm] e_2=(-3)*6*15=-270
[/mm]
[mm] e_3=(-5)*(-5)*15=375
[/mm]
[mm] e_4=(-7)*(-14)*(-14)=-1372
[/mm]
Dann x=0*192+1*(-270)+2*(375)-6*(-1372)= 8712 (mod 210)(=102)
Danke das du dir anguckst, weil ich den Fehler einfach nicht finde!
Aber generell reicht das als Antwort!?
Grüße Torste
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 So 22.05.2011 | | Autor: | meili |
Hallo Torste,
> Schade - noch keine Hellseher^^
>
> Dann muss ich das wohl mal etwas ausführen!
> Also:
> Wir haben gelernt, dass generell gelten muss
> [mm]d_{i,j}+d_{j,i}=1,[/mm] wobei [mm]d_{i,j} \in I_i[/mm]
Wie berechnest Du die [mm] $d_{i,j}$ [/mm] und was ist [mm] $I_i$?
[/mm]
> Also:
> [mm]d_{1,2}=4, d_{2,1}=-3,[/mm] da 4-3=1
> [mm]d_{1,3}=6, d_{3,1}=-5,[/mm]
> [mm]d_{1,4}=8, d_{4,1}=-7,[/mm]
> [mm]d_{2,3}=6, d_{3,2}=-5,[/mm]
> [mm]d_{2,4}=15, d_{4,2}=-14,[/mm]
> [mm]d_{3,4}=15, d_{4,3}=-14[/mm]
Also wenn ich ![[]](/images/popup.gif) diese Bezeichnungen verwende
und von
x [mm] $\equiv$ [/mm] 2 (mod 5)
x [mm] $\equiv$ [/mm] 4 (mod 6)
x [mm] $\equiv$ [/mm] 1 (mod 7)
ausgehe,
komme ich auf M = 210 = 5*6*7
und [mm] $M_1$ [/mm] = 42, [mm] $M_2$ [/mm] = 35 und [mm] $M_3$ [/mm] = 30.
Weiter:
17*5+(-2)*42 = 1
...
>
> Für die [mm]e_i[/mm] gilt [mm]e_i=\produkt_{j\not=i}^{}d_{j,i},[/mm] also:
Dieses Produkt verstehe ich auch nicht.
> [mm]e_1=4*6*8=192[/mm]
> [mm]e_2=(-3)*6*15=-270[/mm]
> [mm]e_3=(-5)*(-5)*15=375[/mm]
> [mm]e_4=(-7)*(-14)*(-14)=-1372[/mm]
>
> Dann x=0*192+1*(-270)+2*(375)-6*(-1372)= 8712 (mod
> 210)(=102)
>
> Danke das du dir anguckst, weil ich den Fehler einfach
> nicht finde!
> Aber generell reicht das als Antwort!?
> Grüße Torste
>
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 So 22.05.2011 | | Autor: | Torste |
Ich habe das so versucht, wie es bei uns im Beweis des chinesischen Restsatzes gemacht worden ist:
Hier mal der Link zum Skript:
http://www.math.tu-berlin.de/~hess/algebra2-ws2007/algebra.pdf
Es handelt sich um die Seiten 57/58.
Bei wiki kenne ich den eukl. Algorithmus leider noch nicht!
Gruß Torste
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 So 22.05.2011 | | Autor: | meili |
Hallo Torste,
der Fehler steckt in der Berechnung der [mm] $e_i$.
[/mm]
$ [mm] e_i=\produkt_{j\not=i}^{}d_{j,i}$
[/mm]
ist ok. (steht auch so im Skript)
Aber Achtung bei den Indizes!
Um [mm] $e_i$ [/mm] zu berechnen, muss der 2. Index von den [mm] $d_{j,i}$'s [/mm] fest i sein,
und der 1. Index j variieren.
z.B.: $ [mm] e_1=d_{2,1}\cdot{}d_{3,1}\cdot{}d_{4,1} [/mm] $
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 So 22.05.2011 | | Autor: | Torste |
Ja stimmt! Das ist es!!
KLasse - danke dir!
Jetzt passt alles!
Nur nochmal zum Verständnis:
Dann ist also die Menge aller x, für die gilt: x=22 mod 201 die Menge aller ganzzahligen Lösungen?
Torste
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Hallo Torste,
> Ja stimmt! Das ist es!!
> KLasse - danke dir!
>
> Jetzt passt alles!
> Nur nochmal zum Verständnis:
> Dann ist also die Menge aller x, für die gilt: x=22 mod
> 201 die Menge aller ganzzahligen Lösungen?
Die Lösungsmenge ist die Menge aller ganzzahligen x für die gilt:
[mm]x \equiv 22 \ \operatorname{mod} \ 210[/mm]
Etwas anders aufgeschrieben:
[mm]L=\left\{ x \in \IZ \left|\right x \equiv 22 \ \operatorname{mod} \ 210 \right\}[/mm]
> Torste
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Gruss
MathePower
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