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Ist es eine notwendige Bedingung für die Lösbarkeit einer diophantischen Gleichung in [mm] \IZ, [/mm] dass der Grad der Gleichung kleiner als die Anzahl der Variablen ist?
Ich meine ja. Hab ich recht, oder lieg ich daneben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Di 09.10.2007 | | Autor: | statler |
> Ist es eine notwendige Bedingung für die Lösbarkeit einer
> diophantischen Gleichung in [mm]\IZ,[/mm] dass der Grad der
> Gleichung kleiner als die Anzahl der Variablen ist?
> Ich meine ja. Hab ich recht, oder lieg ich daneben?
Daneben! Nimm mal die Gleichung [mm] x^{10} [/mm] = 1024, sie hat Grad 10, 1 Variable und ist lösbar. Vlt. meinst du was anderes?
Bis dann
Dieter
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| Aufgabe | Gegeben sei folgendes diophantische Gleichungssystem:
[mm] x^{2}+y^{2}-z^{2}=1
[/mm]
[mm] 4x^{2}-y^{2}+8z^{2}=0
[/mm]
und p eine ungerade Primzahl. Der Satz von Chevalley-Warning impliziert in diesem Falle
a)dass das Gleichungssystem in [mm] \IZ/p\IZ [/mm] eine Lösung besitzt
b)dass die Anzahl der Lösungen in [mm] \IZ/p\IZ [/mm] kongruent 0 mod
p ist
c) nichts |
Also, hier ist der Gard der beiden Polynome addiert =4, die Anzahl der Variablen beträgt aber nur 3. Damit gilt b) schonmal nicht. Dass man zu a) etwas sagen könnte, müssten die konstanten Terme der beiden Polynome 0 sein, sind sie aber nicht. Ich würde dann c) ankreuzen.
Ich dachte, dass ich den Satz auch darauf übertragen kann, wenn ich nur ein Polynom habe, wie in meiner ersten Frage. Aber vielleicht hab ich da übersehen, dass nicht gefordert wird, dass die konstanten terme Null sind. Kann das sein?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:48 Mi 10.10.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Gegeben sei folgendes diophantische Gleichungssystem:
> [mm]x^{2}+y^{2}-z^{2}=1[/mm]
> [mm]4x^{2}-y^{2}+8z^{2}=0[/mm]
>
> und p eine ungerade Primzahl. Der Satz von
> Chevalley-Warning impliziert in diesem Falle
> a)dass das Gleichungssystem in [mm]\IZ/p\IZ[/mm] eine Lösung
> besitzt
> b)dass die Anzahl der Lösungen in [mm]\IZ/p\IZ[/mm] kongruent 0 mod
> p ist
> c) nichts
>
> Also, hier ist der Gard der beiden Polynome addiert =4,
> die Anzahl der Variablen beträgt aber nur 3. Damit gilt b)
> schonmal nicht. Dass man zu a) etwas sagen könnte, müssten
> die konstanten Terme der beiden Polynome 0 sein, sind sie
> aber nicht. Ich würde dann c) ankreuzen.
Wuerd ich auch sagen (ich kenn den Satz allerdings erst seit gerade und nur aus der nicht sonderlich genauen Beschreibung der englischsprachigen Wikipedia).
> Ich dachte, dass ich den Satz auch darauf übertragen kann,
> wenn ich nur ein Polynom habe, wie in meiner ersten Frage.
Klar kannst du das: wenn ein Polynom $f [mm] \in \IZ[x_1, \dots, x_n]$ [/mm] einen Grad $d < n$ hat, dann ist die Anzahl der Loesungen von [mm] $f(x_1, \dots, x_n) [/mm] = 0$ in [mm] $\IF_q$ [/mm] durch $p$ teilbar (wobei $q = [mm] p^k$ [/mm] ist).
Allerdings musst du beachten, dass dir der Satz im Allgemeinen nur ein hinreichendes, aber kein notwendiges Kriterium fuer Loesbarkeit liefert! Ist die Bedingung $d < n$ nicht erfuellt, so liefert dir der Satz gar keine Aussage.
Insbesondere im Fall von genau einem Polynom und einer Variablen ist er ziemlich nutzlos, da er dann nur fuer Polynome vom Grad $< 1$ gilt, also fuer konstante Polynome. Und in dem Fall ist er trivial: ein konstantes Polynom hat entweder keine Nullstelle oder so viele wie der Koerper Elemente hat (und der Koerper hat [mm] $p^n$ [/mm] Elemente, womit die Zahl durch $p$ teilbar ist).
LG Felix
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