Chebychev'sche Ungleichung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei X eine auf (-n,1-n,...,n-1,n) gleichverteilte Zufallsvariable. Berechnen Sie die obere
Schranken, die sich fr P{|x| [mm] \ge [/mm] n/2} und für P{|x| [mm] \ge [/mm] 9n/10} aus der Chebyshev'schen Ungleichung ergeben. Vergleichen Sie diese fr große n miteinander und mit den tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten. |
Moin,
Ich würde als erstes die Varianz und den Erwartungswert berechnen und dann versuchen die obere Grenze zu ermitteln.
Es scheitert bei mir aber schon am Erwartungswert.
E(x) = [mm] \summe_{x=-n}^{n} [/mm] x [mm] \* [/mm] P(x=x)
Wie bekomme ich denn jetzt die Wahrscheinlichkeit? Ich nehme mal an das [mm] \bruch{1}{|x|} [/mm] hier nicht ausreicht. Abgesehen davon, dass x nicht mal bekannt ist.
Verwirrung totale.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 Fr 07.06.2013 | | Autor: | abakus |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Sei X eine auf (-n,1-n,...,n-1,n) gleichverteilte
> Zufallsvariable. Berechnen Sie die obere
> Schranken, die sich fr P{|x| [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
n/2} und für P{|x| [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> 9n/10} aus der Chebyshev'schen Ungleichung ergeben.
> Vergleichen Sie diese fr große n miteinander und mit den
> tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten.
> Moin,
>
> Ich würde als erstes die Varianz und den Erwartungswert
> berechnen und dann versuchen die obere Grenze zu
> ermitteln.
>
> Es scheitert bei mir aber schon am Erwartungswert.
>
> E(x) = [mm]\summe_{x=-n}^{n}[/mm] x [mm]\*[/mm] P(x=x)
>
> Wie bekomme ich denn jetzt die Wahrscheinlichkeit? Ich
> nehme mal an das [mm]\bruch{1}{|x|}[/mm] hier nicht ausreicht.
> Abgesehen davon, dass x nicht mal bekannt ist.
>
> Verwirrung totale.
Hallo,
es gilt doch wegen der Gleichverteilung auch P(X=n)=P(X=-n), P(X=1)=P(X=-1), ...
Diese Produkte x*P(X=x) heben sich doch paarweise auf.
Gruß Abakus
>
> Viele Grüße
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Super, dank.
Das heißt, dass aus:
(-1) p + (1)p + 0p ....
Folgt: E(x) = 0
Die Varianz für Zufallszahlen V(x) = [mm] E(x^{2}) [/mm] - [mm] (EX)^{2} [/mm] ergibt dann mit E(x)=0 folglich:
Var(x) = [mm] E(x^{2})
[/mm]
Var(x) = [mm] \summe_{x=-n}^{n} x^{2} \* [/mm] P(x=x)
Wie genau löse ich die Summe dann auf?
[mm] (-n)^{2} [/mm] p + [mm] (1-n)^{2} [/mm] + .....
Vielleicht blöde Frage, aber welche Folge symbolisiert denn denn "..." in der gleichverteilten Zufallszahlen (-n,1-n,...,n-1,n)??
Wenn Ich das dann zusammenfasse, müsste ich ja auf die Varianz kommen, richtig?!
Wenn ich die Varianz habe, kann ich ja dann mit der chebyshev Ungleichung die Schranken [mm] (\bruch{var(x)}{c^{2}}) [/mm] und P{|x| [mm] \ge \bruch{n}{2}} [/mm] vergleichen?!
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Hallo,
ist Var(x) = $ [mm] \summe_{x=-n}^{n} x^{2} [/mm] * $ P(x=x) nicht gleich $ [mm] P(x=1)2\summe_{x=1}^{n} x^{2} [/mm] $? Falls ja dann könnte man weiter auflösen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Fr 07.06.2013 | | Autor: | abakus |
> Super, dank.
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> Das heißt, dass aus:
>
> (-1) p + (1)p + 0p ....
>
> Folgt: E(x) = 0
>
> Die Varianz für Zufallszahlen V(x) = [mm]E(x^{2})[/mm] - [mm](EX)^{2}[/mm]
> ergibt dann mit E(x)=0 folglich:
>
> Var(x) = [mm]E(x^{2})[/mm]
>
> Var(x) = [mm]\summe_{x=-n}^{n} x^{2} \*[/mm] P(x=x)
>
> Wie genau löse ich die Summe dann auf?
>
> [mm](-n)^{2}[/mm] p + [mm](1-n)^{2}[/mm] + .....
>
> Vielleicht blöde Frage, aber welche Folge symbolisiert
> denn denn "..." in der gleichverteilten Zufallszahlen
> (-n,1-n,...,n-1,n)??
Das sollen sicher die ganzen Zahlen von -n bis +n sein (und das sind derer (2n+1) an der Zahl). Jeder dieser 2n+1 Werte tritt mit der Wahrscheinlichkeit 1/(2n+1) auf.
Gruß Abakus
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> Wenn Ich das dann zusammenfasse, müsste ich ja auf die
> Varianz kommen, richtig?!
>
> Wenn ich die Varianz habe, kann ich ja dann mit der
> chebyshev Ungleichung die Schranken [mm](\bruch{var(x)}{c^{2}})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> und P{|x| [mm]\ge \bruch{n}{2}}[/mm] vergleichen?!
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Blicke noch nicht ganz durch (Danke bis hierhin schon mal).
[mm] \summe_{x=-n}^{n} x^{2} \* [/mm] p(x=x)
Kann ich das, als:
[mm] \bruch{1}{2n+1} \* \summe_{x=-n}^{n} x^{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2n+1} \* \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
darstellen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Fr 07.06.2013 | | Autor: | abakus |
> Blicke noch nicht ganz durch (Danke bis hierhin schon
> mal).
>
> [mm]\summe_{x=-n}^{n} x^{2} \*[/mm] p(x=x)
>
> Kann ich das, als:
>
> [mm]\bruch{1}{2n+1} \* \summe_{x=-n}^{n} x^{2}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{2n+1} \* \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}[/mm]
>
> darstellen?
Fast. Du hast nur übersehen, dass die von dir verwendete Summenformel nur für [mm] $1^2+2^2+3^2+...+n^2$ [/mm] gilt. Da kommt aber noch einmal die gleiche Summe dazu für die Quadrate der negativen Werte.
Es wird also genau doppelt so groß.
Gruß Abakus
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Super. Langsam komme ich ins Thema rein :)
Eine Verständnisfrage noch zum Erwartungswert.
Das die Werte sich gegenseitig aufheben leuchtet mir ein. mathematisch aber nicht so ganz von der Herleitung:
E(x) = [mm] \summe_{i=-n}^{n} x_{i} \* P(x=x_{i})
[/mm]
E(x) = [mm] 2\* \summe_{i=1}^{n} x_{i} \* \bruch{1}{2n+1}
[/mm]
= 2 [mm] \* \bruch{(2n+1)}{2} \* \bruch{1}{2n+1}
[/mm]
= 1
Ist doch aber gleich 1 und nicht 0 ?
Vg und danke für die Hilfestellungen. Echt Top.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Fr 07.06.2013 | | Autor: | abakus |
> Super. Langsam komme ich ins Thema rein :)
> Eine Verständnisfrage noch zum Erwartungswert.
>
> Das die Werte sich gegenseitig aufheben leuchtet mir ein.
> mathematisch aber nicht so ganz von der Herleitung:
>
> E(x) = [mm]\summe_{i=-n}^{n} x_{i} \* P(x=x_{i})[/mm]
>
> E(x) = [mm]2\* \summe_{i=1}^{n} x_{i} \* \bruch{1}{2n+1}[/mm]
Stopp! [mm]\summe_{i=-n}^{n} x_{i} = \summe_{i=-n}^{-1} x_{i}+ x_0+\summe_{i=1}^{n} x_{i} [/mm]
Und da [mm] i=$x_i$ [/mm] gilt, hast du
[mm]\summe_{i=-n}^{n}i= \summe_{i=-n}^{-1} i+ 0+\summe_{i=1}^{n} i= \summe_{i=1}^{n}(-i)+ 0+\summe_{i=1}^{n} i[/mm]
>
> = 2 [mm]\* \bruch{(2n+1)}{2} \* \bruch{1}{2n+1}[/mm]
>
> = 1
>
> Ist doch aber gleich 1 und nicht 0 ?
>
> Vg und danke für die Hilfestellungen. Echt Top.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Fr 07.06.2013 | | Autor: | Grischa87 |
Was gekürzt -1/2 + 0 + 1/2 = 0 ergibt. Macht Sinn.
Super, klasse Erklärung.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 Fr 07.06.2013 | | Autor: | Reduktion |
Ja du hast nur die 2 und die Indezies von $ [mm] P(x=1)2\summe_{x=1}^{n} x^{2} [/mm] $ nicht beachtet.
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Kommen wir zur Kernfrage zurück. Die Oberschranke der chebyshev'schen Ungleichung.
E(x) = 0
Var(x) = [mm] \bruch{n(n+1)}{3}
[/mm]
Chebyshev: P(|x - E(x) | [mm] \ge [/mm] a) [mm] \le \bruch{var(x)}{a^{2}}
[/mm]
Und das ganze für P{|x| [mm] \ge \bruch{n}{2}} [/mm] .....
Muss etwas Raten und Halbwissen würde ich die Grenze wie folgt berechnen:
[mm] \bruch{\bruch{n(n+1)}{3}}{(\bruch{n}{2})^{2}}
[/mm]
... Jemand noch eine Hilfestellung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Fr 07.06.2013 | | Autor: | luis52 |
> Muss etwas Raten und Halbwissen würde ich die Grenze wie
> folgt berechnen:
>
> [mm]\bruch{\bruch{n(n+1)}{3}}{(\bruch{n}{2})^{2}}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ein bisschen Vereinfachung waere schoen:
[mm] $\frac{4(n+1)}{3n}>1$.
[/mm]
Die obere Schranke ist nicht informativ ...
vg Luis
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