Charakteristisches Polynom < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Zelda |
| Aufgabe | Sei [mm]F:K^3\rightarrow K^3 [/mm] der "Shift" [mm] (x_1,x_2,x_3)^t\mapsto(x_2,x_3,0)^t.[/mm]
a.)Stellen Sie F als Standartinterpretation [mm]F_A[/mm] einer Matrix [mm]A\in K^{3x3}[/mm]dar und bestimmen Sie das charakteristische Polynom [mm]h_A.[/mm]
b.) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von F. Ist F diagonalisierbar? |
Guten Abend,
also die Standartinterpretation einer Matrix [mm]A\in K^{3x3}[/mm] sieht ja so aus:
[mm]\pmat{a_1_1 & a_1_2 & a_1_3\\
a_2_1 & a_2_2 & a_2_3\\
a_3_1 & a_3_2 & a_3_3}[/mm],... ich kann leider nichts mit dem Begriff "Shift" anfangen, es wurde in der VL auch nicht besprochen, ergo komme ich bei der Aufgabe nicht weiter.
Was ist ein Shift?
Lieben Gruß
|
|
| |
|
moin Zelda,
Ich nehm an damit ist einfach gemeint, dass die Einträge da anschaulich um einen nach links geschoben werden.
Nimm dir also einfach die Definition $f [mm] \left( \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} \right) [/mm] = [mm] \vektor{x_2 \\ x_3 \\ 0}$.
[/mm]
Davon kannst du die Abbildungsmatrix aufstellen und das char. Polynom sowie die Eigenwerte berechnen.
Also ignoriere den Begriff "Shift" und löse die Aufgabe einfach aufgrund der Definition der Abbildung.
Sollte es dazu noch Fragen geben, kannst du die natürlich gern stellen.
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Zelda |
"Standartinterpretation" heißt die kanonische Basis, alles quatsch da oben...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Zelda |
[mm]F_A=\pmat{0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 &1 & 0}[/mm] und die charakteristische Matrix erhalte ich ja durch [mm]tE^n =\pmat{t & 0 & 0\\
0 & t & 0\\
0 & 0 & t}[/mm], das charakteristische Polynom berechnet sich aus [mm]h_A:= det (tE^n-A)[/mm]
[mm]tE^n-A =\pmat{t & 0 & 0\\
-1 & t & 0\\
0 & -1 & t}[/mm],[mm]det (tE^n-A)= 0[/mm]
Ist das denn richtig?
Oder hätte ich die 1.Zeile streichen sollen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:30 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Zelda |
Also ich streiche in [mm]F_A
[/mm] die erste Zeile und letzte Spalte, in meinem Oberstübchen tummelt gerade der Gedanke, dass das erlaubt sei.
Dann erhalte ich [mm]tE^n=\pmat{ t & 0 \\
0 & t }
[/mm] und für [mm]tE^n - A= \pmat{ t-1 & 0 \\
0& t-1}
[/mm], daraus folgt dann dass [mm]h_A=[/mm][mm]t^2-2t+1[/mm]
Die Nullstelle ist [mm]\lambda_1=1[/mm] und somit ist 1 der Eigenwert.
|
|
|
| |
|
> Also ich streiche in [mm]F_A[/mm] die erste Zeile und letzte Spalte, in meinem Oberstübchen
> tummelt gerade der Gedanke, dass das erlaubt sei.
Hallo,
MathePower hat Dir schon gesagt, daß Du das nicht tun darfst.
Du solltest auch selbst etwas irritiert sein, denn statt eines charakteristischen Polynoms vom grad 3 bekommst Du eins zweiten grades.
LG Angela
>
> Dann erhalte ich [mm]tE^n=\pmat{ t & 0 \\
0 & t }[/mm] und für
> [mm]tE^n - A= \pmat{ t-1 & 0 \\
0& t-1} [/mm], daraus folgt dann
> dass [mm]h_A=[/mm][mm]t^2-2t+1[/mm]
> Die Nullstelle ist [mm]\lambda_1=1[/mm] und somit ist 1 der
> Eigenwert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:35 So 22.01.2012 | | Autor: | Zelda |
eine nacht darüber geschlafen, ich versuche es gleich nochmal...
|
|
|
| |
|
Hallo Zelda,
> [mm]F_A=\pmat{0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 &1 & 0}[/mm] und die
Die Matrix ist doch gerade die Transponierte dazu:
[mm]\pmat{x_{2} \\ x_{3} \\ 0}=\pmat{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 &0}\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}[/mm]
> charakteristische Matrix erhalte ich ja durch [mm]tE^n =\pmat{t & 0 & 0\\
0 & t & 0\\
0 & 0 & t}[/mm],
> das charakteristische Polynom berechnet sich aus [mm]h_A:= det (tE^n-A)[/mm]
>
> [mm]tE^n-A =\pmat{t & 0 & 0\\
-1 & t & 0\\
0 & -1 & t}[/mm],[mm]det (tE^n-A)= 0[/mm]
>
> Ist das denn richtig?
Die Idee ist richtig.
> Oder hätte ich die 1.Zeile streichen sollen?
Nein.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:55 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Zelda |
Jetzt bin ich total verwirrt... Mathepower meinst du, ich habe die Abbildung falsch gemacht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:22 So 22.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Jetzt bin ich total verwirrt... Mathepower meinst du, ich
> habe die Abbildung falsch gemacht?
Nein.
Berechne doch [mm] det(tE^n-A)
[/mm]
FRED
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 So 22.01.2012 | | Autor: | Zelda |
Da
[mm]A=\pmat{0 & 1& 0\\
0 & 0 &1\\
0 & 0 & 0}[/mm] und [mm]tE^n-A=\pmat{t & -1 & 0\\
0 & t & -1\\
0 & 0 & t}[/mm] , [mm]det(tE^n-A)=t^3+1[/mm], die einige Nullstelle ist -1, welche mit [mm]\lambda_1=-1
[/mm] der Eigenwert ist.
Um den Eigenvektor zum Eigenwert zu berechnen, bestimme ich Lös [mm](A-\lambda E^n,0)
[/mm].
Was mich jetzt beschäftigt ist der Eigenvektor, erst hatte ich den Nullvektor raus, was ja definitiv nicht möglich ist.
Nach erneuter Rechnung ergibt sich ein Eigenvektor=[mm]\pmat{-1\\
1\\
1}
[/mm].
Bitte um Korrektur, lieben Gruß!
|
|
|
| |
|
Hallo Zelda,
>
> Da
> [mm]A=\pmat{0 & 1& 0\\
0 & 0 &1\\
0 & 0 & 0}[/mm] und
> [mm]tE^n-A=\pmat{t & -1 & 0\\
0 & t & -1\\
0 & 0 & t}[/mm] ,
> [mm]det(tE^n-A)=t^3+1[/mm], die einige Nullstelle ist -1, welche mit
Das charakteristische Polynom ist nicht richtig.
> [mm]\lambda_1=-1
[/mm] der Eigenwert ist.
> Um den Eigenvektor zum Eigenwert zu berechnen, bestimme
> ich Lös [mm](A-\lambda E^n,0)
[/mm].
>
> Was mich jetzt beschäftigt ist der Eigenvektor, erst hatte
> ich den Nullvektor raus, was ja definitiv nicht möglich
> ist.
>
> Nach erneuter Rechnung ergibt sich ein
> Eigenvektor=[mm]\pmat{-1\\
1\\
1}
[/mm].
>
> Bitte um Korrektur, lieben Gruß!
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 So 22.01.2012 | | Autor: | Zelda |
Ja stimmt, ich habs mit der Regel von Sarrus berechnet und (-1)(-1)0= 0 und nicht 1, demnach ist das Polynom [mm]t^3[/mm]... aber an dem Eigenwert ändert sich dadurch nichts. Meines Erachtens. ...
|
|
|
| |
|
Hallo Zelda,
>
> Ja stimmt, ich habs mit der Regel von Sarrus berechnet und
> (-1)(-1)0= 0 und nicht 1, demnach ist das Polynom [mm]t^3[/mm]...
> aber an dem Eigenwert ändert sich dadurch nichts. Meines
> Erachtens. ...
>
Da das Polynom jetzt zu [mm]t^{3}[/mm] berechnet wurde,
ist der Eigenwert nicht mehr -1, sondern 0.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 So 22.01.2012 | | Autor: | Zelda |
Danke Mathepower... :(
|
|
|
|
