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Charakteristische Gl. + Det.: Frage + Korrektur + Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:59 Mo 15.06.2009
Autor: mac_hawk

Aufgabe
Systemmatrix:
 = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \bruch{-k}{T} * k1 & \bruch{-k-1}{T} *k2 & \bruch{-k}{T} *k3 & \bruch{-k}{T} *k4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \bruch{k}{T} *k1 & \bruch{1}{T*l} + \bruch{K}{T} *k2 & \bruch{g}{l} + \bruch{k}{T} *k3 & \bruch{k}{T} *k4 } [/mm]
Eigenwerte von  = det(pÊ - Â) :
det [mm] \vmat{ p & 1 & 0 & 0 \\ \bruch{k}{T} * k1 & p- \bruch{-k-1}{T} * k2 & \bruch{k}{T} * k3 & \bruch{k}{T} * k4 \\ 0 & 0 & p & -1 \\ \bruch{-k}{T} * k1 & \bruch{-1}{T*l} - \bruch{k}{T} * k2 & \bruch{-g}{l} - \bruch{k}{T} *k3 & p- \bruch{k}{T} *k4 } [/mm]

Det. berechnen und Ansatz finden um k1..k4 zu berechnen.

Hallo,

ich brauche mal etwas hilfe bei der Charakteristischen Gleichung und einen Ansatz wie ich danach auf die K's , k1..k4, kommen kann.

Ich werde im moment noch irre damit, ich komm nicht wirklich auf ein passables ergebnis. Mir fehlt leider arg die Übung, deshalb wär ich sehr dankbar wenn mir jemand etwas unter die Arme greifen könnte.

Det.:
p * (p- [mm] \bruch{-k-1}{T} [/mm] * k2) * p * (p - [mm] \bruch{k}{T} [/mm] * k4)
+ [mm] \bruch{K}{T} [/mm] * k3 * (-1) * (- [mm] \bruch{k}{T} [/mm] * k1)
- [mm] (\bruch{-1}{T*l} [/mm] - [mm] \bruch{k}{T} [/mm] * k2) * p * [mm] \bruch{k}{T} [/mm] * k4 *p
- ( [mm] \bruch{-g}{l} [/mm] - [mm] \bruch{k}{T} [/mm] * k3 ) * (-1) * [mm] \bruch{k}{T} [/mm] * k1
stimmt das erstmal soweit? wär super wenn mir jemand etwas mit dem vereinfachen der Det. helfen könnte..ich verzweifel da immer dran :/

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Charakteristische Gl. + Det.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:49 Mo 15.06.2009
Autor: smarty

Hallo McHawk,

und [willkommenmr]



> Systemmatrix:
>  Â = [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \bruch{-k}{T} * k1 & \bruch{-k-1}{T} *k2 & \bruch{-k}{T} *k3 & \bruch{-k}{T} *k4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \bruch{k}{T} *k1 & \bruch{1}{T*l} + \bruch{K}{T} *k2 & \bruch{g}{l} + \bruch{k}{T} *k3 & \bruch{k}{T} *k4 }[/mm]
>  
> Eigenwerte von  = det(pÊ - Â) :
>  det [mm]\vmat{ p & \red{-}1 & 0 & 0 \\ \bruch{k}{T} * k1 & p- \bruch{-k-1}{T} * k2 & \bruch{k}{T} * k3 & \bruch{k}{T} * k4 \\ 0 & 0 & p & -1 \\ \bruch{-k}{T} * k1 & \bruch{-1}{T*l} - \bruch{k}{T} * k2 & \bruch{-g}{l} - \bruch{k}{T} *k3 & p- \bruch{k}{T} *k4 }[/mm]
>  
> Det. berechnen und Ansatz finden um k1..k4 zu berechnen.
>  Hallo,
>  
> ich brauche mal etwas hilfe bei der Charakteristischen
> Gleichung und einen Ansatz wie ich danach auf die K's ,
> k1..k4, kommen kann.
>  
> Ich werde im moment noch irre damit, ich komm nicht
> wirklich auf ein passables ergebnis. Mir fehlt leider arg
> die Übung, deshalb wär ich sehr dankbar wenn mir jemand
> etwas unter die Arme greifen könnte.
>  
> Det.:
>  p * (p- [mm]\bruch{-k-1}{T}[/mm] * k2) * p * (p - [mm]\bruch{k}{T}[/mm] *
> k4)
>  + [mm]\bruch{K}{T}[/mm] * k3 * (-1) * (- [mm]\bruch{k}{T}[/mm] * k1)
>  - [mm](\bruch{-1}{T*l}[/mm] - [mm]\bruch{k}{T}[/mm] * k2) * p * [mm]\bruch{k}{T}[/mm]
> * k4 *p
>  - ( [mm]\bruch{-g}{l}[/mm] - [mm]\bruch{k}{T}[/mm] * k3 ) * (-1) *
> [mm]\bruch{k}{T}[/mm] * k1
>  stimmt das erstmal soweit? wär super wenn mir jemand etwas
> mit dem vereinfachen der Det. helfen könnte..ich verzweifel
> da immer dran :/

Du hast hier die Regel von Sarrus angewendet, das geht doch nur bei bis zu 3x3-Matrizen. Ich denke du musst hier eher den Laplace'schen Entwicklungssatz nehmen.

Wo kommt denn diese Matrix her, also aus was für einer Aufgabe ist sie entstanden? Vielleicht gibt es ja einen eleganteren Weg deine [mm] k_i [/mm] zu bestimmen :-)


Viele Grüße
Smarty
Bezug
                
Bezug
Charakteristische Gl. + Det.: Nachtrag
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:59 Mo 15.06.2009
Autor: mac_hawk

Die Systemmatrix  ist aus dem Zustandsraummodell eines inversen pendels, die k's sind konstanten die für den Zustandsregler benötigt werden, welcher daraus später entwickelt werden soll.

Also war meine bisherige mühe umsonst ..
Bezug
                        
Bezug
Charakteristische Gl. + Det.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:14 Mo 15.06.2009
Autor: smarty

Hi,

> Die Systemmatrix  ist aus dem Zustandsraummodell eines
> inversen pendels, die k's sind konstanten die für den
> Zustandsregler benötigt werden, welcher daraus später
> entwickelt werden soll.
>  
> Also war meine bisherige mühe umsonst ..

quatsch, wenn das LGS richtig von dir aufgestellt wurde (was ich nicht beurteilen kann) dann ist doch schon viel erreicht. Von den Zustandsraummodellen habe ich zwar schon mal was gehört, aber mehr auch nicht :-)

Gibt es da nicht irgendwelche Transformationsmatrizen mit denen man an die ks drankommt?

Wir haben hier im Matheraum auch ein Regelungstechnikforum (Link). Kannst ja deinen Ansatz mal dort als Frage reinstellen.

Viele Grüße und [kleeblatt]
Smarty
Bezug
                                
Bezug
Charakteristische Gl. + Det.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:16 Mo 15.06.2009
Autor: mac_hawk

ok mache ich, danke dir

edit:
bin aber skeptisch ob das auf viel resonanz stoßen wird, im regelungstechnik forum wurde in den letzten 31 tagen kein thema beantwortet^^ und da ging es sogar um zustandsraum probleme
Bezug
                                        
Bezug
Charakteristische Gl. + Det.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:32 Mo 15.06.2009
Autor: smarty

Hallo,


> ok mache ich, danke dir
>  
> edit:
>  bin aber skeptisch ob das auf viel resonanz stoßen wird,
> im regelungstechnik forum wurde in den letzten 31 tagen
> kein thema beantwortet^^ und da ging es sogar um
> zustandsraum probleme

a b e r !!! Es schadet doch nicht, es trotzdem zu versuchen, oder ;-) Mehr als dass dir niemand antwortet, kann dir nicht passieren.


Viele Grüße
Smarty
Bezug
                                                
Bezug
Charakteristische Gl. + Det.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:00 Di 16.06.2009
Autor: mac_hawk

Aufgabe
 = det(pÊ - Â)
== det  [mm] \pmat{ p & 1 & 0 & 0 \\ \bruch{K}{T} *k1 & p-(\bruch{-K-1}{T} *k2) & \bruch{K}{T} *k3 & \bruch{K}{T} *k4 \\ 0 & 0 & p & -1 \\ \bruch{-K}{T} *k1 & \bruch{-1}{T*l}-\bruch{K}{T}*k2 & \bruch{-g}{l}-\bruch{K}{T}*k3 & p-\bruch{K}{T}*k4 } [/mm]

ok zweiter versuch :)
da ich also nur bis zu einer matrix 3x3 die determinante direkt ziehen darf versuche ich es mit dem lapaceschen entwicklungssatz

entwicklung nach erster zeile:
= p* [mm] \pmat{ p - (\bruch{-K-1}{T}*k2) & \bruch{K}{T}*k3 & \bruch{K}{T}*k4 \\ 0 & p & -1 \\ \bruch{-1}{T*l}-\bruch{K}{T}*k2 & \bruch{-g}{l}-\bruch{K}{T}*k3 & p-\bruch{K}{T}*k4 } [/mm] - 1* [mm] \pmat{ \bruch{K}{T}*k1 & \bruch{K}{T}*k3 & \bruch{K}{T}*k4 \\ 0 & p & -1 \\ \bruch{-K}{T}*k1 & \bruch{-g}{l}-\bruch{K}{T}*k3 & p-\bruch{K}{T}*k4 } [/mm]

bevor ich nun weitermache, ist das erstmal korrekt? ich bin ja quasi auf der suche nach der charakteristischen gleichung mit den 4 unbekannten k1..k4 und möchte die später bestimmen..muss aber halt erstmal zu der gl. kommen

falls es korrekt war, nächster schritt die erste matrix mit p multiplizieren, die zweite mit 1, danach normal determinante ermitteln nach Sarrus von beiden matrizen und quasi das ergebnis der zweiten mit negativem vorzeichen multiplizieren und dann + das ergebnis der ersten.. oder ?
Bezug
                                                        
Bezug
Charakteristische Gl. + Det.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:47 Di 16.06.2009
Autor: Lati

Hi mac_hawk,

ja das Ergebnis müsste so stimmen.Und du kannst jetzt über Sarrus die Determinanten der zwei 3x3-Matrizen ausrechnen. Du kannst auch bei der ersten Matrix erst nachdem du die Det ausgerechnet hast mit p multiplizieren,das ist einfacher.
Sonst stimmt dein Weg meiner Meinung nach.

Viele Grüße

Lati
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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