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Hallo zusammen,
ich bin auf der Suche nach der Charakteristischen Funktion des Compund Poisson-Prozesses.
D.h. ich interessiere mich für [mm]\phi(\lambda)=\mathbb{E}[ exp(i\lambda X_t) [/mm] mit [mm]X_t=\summe_{i=1}^{N_t}U_i [/mm] und [mm]N_t \sim poi(\alpha t)[/mm] und iid [mm]U_i[/mm].
Ich habe einen Satz mit Beweis im Klenke gefunden der mir das liefern würde, aber ich verstehe den Beweis nicht.
Es geht dabei allgemein um eine Zufallsvariable [mm]Y=\summe_{i=1}^{N}X_i [/mm] wobei die [mm]X_i[/mm] iid (unabhängig identisch verteilt) mit Charakteristischen Funktion [mm]\phi_X[/mm] und [mm]N[/mm] fast sicher Werte in [mm]\mathbb{N}[/mm] annimmt und die erzeugende Funktion [mm]f_N[/mm] hat.
Dann gilt für die Charakteristische Funktion von [mm]Y[/mm] [mm]\phi_y(t)=f_N(\phi_x(t))[/mm].
Der Beweis beginnt dann mit:
[mm]\phi_Y(t)=\summe_{k=1}^{\infty} P(N=k) \mathbb{E} [e^{it(X_1+...+X_k)}][/mm] Und das ist auch genau der Schritt, denn ich nicht verstehe. Danach folgt die Behauptung ja leicht. Aber ich verstehe diese Gleichheit nicht. Ich habe schon vieles versucht, z.B. [mm]Y=\summe_{i=1}^{\infty} \chi [N=i] (X_1+...+X_i) [/mm]. Aber dann komme ich bisher nie dorthin wie das im Beweis steht.
Kann mir jemand halfen?
Danke schonmal im Voraus!
lg Kai
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Huhu,
der Trick ist, das N als Laufindex, was ja selbst eine ZV ist, umzuschreiben:
[mm] $\varphi_Y(t) [/mm] = [mm] \mathbb{E}[\exp(itY)] [/mm] = [mm] \mathbb{E}[\exp(it\summe_{k=1}^NX_k)] [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^\infty \mathbb{E}[1_{\{N=n\}}\exp(it\summe_{k=1}^nX_k)]$
[/mm]
Den Rest kriegst du bestimmt allein hin.
MFG,
Gono.
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Ahhhhh, oooh man bin ich dooooof... ich hatte die Idee, habs aber falsch eingebaut^^
Ich habs versucht mit [mm] \varphi_Y(t) = \mathbb{E}[\exp(itY)] = \mathbb{E}[\exp(it\summe_{k=1}^NX_k)] =\mathbb{E}[\exp(it\summe_{k=1}^\infty 1_{\{N=k\}} S_k)] [/mm]
Vielen Dank!
lg Kai
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