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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Do 06.08.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Ich denke, meine jetzige Frage ist einfacher als die bisherigen. Jedoch muss ich trotzdem fragen, da ich alleine nicht auf die Antwort komme :)
Nun, in der ganzen Theorie der linearen Algebra werden ein paar Sätze bewiesen bzw. erklärt, für die eine Einschränkung zunächst getroffen werden muss. Diese Einschränkun hat mit der Charakteristik des Körpers zu tun.
Ich nenne ein paar Beispiele:
- Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper K mit char(K) [mm] \not= [/mm] 2 und s: VxV [mm] \to [/mm] K eine symmetrische Bilinearform.
Dann gibt es eine Basis B = [mm] (v_{1},...,v_{n}) [/mm] von V mit [mm] s(v_{i},v_{j}) [/mm] = 0 für i [mm] \not= [/mm] j.
- [mm] \phi [/mm] bilineare Abbildung, [mm] \phi: [/mm] VxV [mm] \to [/mm] W (V, W Vektorräume über K).
Ist [mm] \phi [/mm] alternierend [mm] (\phi(v,v) [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V), so gilt [mm] \phi(v',v) [/mm] = [mm] -\phi(v,v') \forall [/mm] v, v' [mm] \in [/mm] V und für char(K) [mm] \not= [/mm] 0 gilt auch die Umkehrung.
Und so weiter und so fort..
Was ich nun gerne für eine Erklärung hätte wäre zunächst einmal eine verständliche Erklärung über die Charakteristik (Ich dachte, ich hätte es verstanden.. nun sehe ich es ein bisschen anders.. ^^) und natürlich vielleicht an diesen 2 Beispielen warum es wichtig ist, dass char(K) [mm] \not= [/mm] 2 ist!
Danke jetzt schon für die Mühe :)
Liebe Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Do 06.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Amaro,
> Ich denke, meine jetzige Frage ist einfacher als die
> bisherigen. Jedoch muss ich trotzdem fragen, da ich alleine
> nicht auf die Antwort komme :)
>
> Nun, in der ganzen Theorie der linearen Algebra werden ein
> paar Sätze bewiesen bzw. erklärt, für die eine
> Einschränkung zunächst getroffen werden muss. Diese
> Einschränkun hat mit der Charakteristik des Körpers zu
> tun.
> Ich nenne ein paar Beispiele:
>
> - Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem
> Körper K mit char(K) [mm]\not=[/mm] 2 und s: VxV [mm]\to[/mm] K eine
> symmetrische Bilinearform.
> Dann gibt es eine Basis B = [mm](v_{1},...,v_{n})[/mm] von V mit
> [mm]s(v_{i},v_{j})[/mm] = 0 für i [mm]\not=[/mm] j.
Das $Char(K) [mm] \neq [/mm] 2$ ist, bedeutet ja gerade $1 + 1 [mm] \neq [/mm] 0$ in $K$. Das bedeutet wiederum, das du im Koerper durch 2 teilen kannst.
Das ganze braucht man normalerweise dazu, um aus quadratischen Formen symmetrische Matrizen (bzw. Bilinearformen) zu bekommen.
Wozu man das hier braucht seh ich aber grad nicht, man koennte die Aussage ja wie folgt beweisen:
Induktion nach [mm] $\dim [/mm] V$. Fuer [mm] $\dim [/mm] V = 0$ ist die Aussage klar; sei also [mm] $\dim [/mm] V > 0$.
Entweder gilt [mm] $\phi [/mm] = 0$, dann sind wir eh fertig, oder es gibt $v, w [mm] \in [/mm] V$ mit [mm] $\phi(v, [/mm] w) [mm] \neq [/mm] 0$. Jetzt waer es gut, wenn es ein $v' [mm] \in [/mm] V$ gibt mit [mm] $\phi(v', [/mm] v') [mm] \neq [/mm] 0$: daraus folgt dann, dass die Abbildung [mm] $\phi_{v'} [/mm] : V [mm] \to [/mm] K$, $w [mm] \mapsto \phi(v', [/mm] w)$ einen [mm] $(\dim [/mm] V - 1)$-dimensionalen Kern hat (Dimensionsformel) und [mm] $\ker \phi_{v'} \oplus \IR [/mm] v' = V$ gilt. Damit kann man dann den Induktionsschritt machen.
Dazu braucht man aber, dass man wirklich ein $v'$ finden kann mit [mm] $\phi(v', [/mm] v') = 0$. In Charakteristik [mm] $\neq [/mm] 2$ kann man das recht einfach zeigen (etwa durch die Beziehung zwischen quadratischen Formen und symmetrischen Bilinearformen, oder halt direkt), aber in Charakteristik 2 gibt es Gegenbeispiele:
Sei $K = [mm] \IF_2$ [/mm] und $V = [mm] K^2$, [/mm] und setze [mm] $\phi((x_1, x_2), (y_1, y_2)) [/mm] = [mm] x_1 y_2 [/mm] + [mm] x_2 y_1$. [/mm] Fuer [mm] $v_1 [/mm] = (1, 0)$, [mm] $v_2 [/mm] = (0,1)$ und [mm] $v_3 [/mm] = (1, 1)$ gilt dann jeweils [mm] $\phi(v_i, v_i) [/mm] = 0$, und das sind alle Vektoren [mm] $\neq [/mm] 0$ in $V$.
Weiterhin gilt [mm] $\phi(v_1, v_2) [/mm] = 1$, [mm] $\phi(v_1, v_3) [/mm] = 1$, [mm] $\phi(v_2, v_3) [/mm] = 1$. Es ist also nicht moeglich, eine Basis [mm] $(w_1, w_2)$ [/mm] von $V$ zu waehlen mit [mm] $\phi(w_1, w_2) [/mm] = 0$.
> - [mm]\phi[/mm] bilineare Abbildung, [mm]\phi:[/mm] VxV [mm]\to[/mm] W (V, W
> Vektorräume über K).
> Ist [mm]\phi[/mm] alternierend [mm](\phi(v,v)[/mm] = 0 [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V), so
> gilt [mm]\phi(v',v)[/mm] = [mm]-\phi(v,v') \forall[/mm] v, v' [mm]\in[/mm] V und für
> char(K) [mm]\not=[/mm] 0 gilt auch die Umkehrung.
Das soll wohl auch $Char(K) [mm] \neq [/mm] 2$ heissen, oder?
Wenn du dir hier den Beweis fuer die Umkehrung anschaust, wirst du sehen das durch 2 geteilt wird. Was natuerlich nur geht wenn $2 [mm] \neq [/mm] 0$ ist.
In Charakteristik 2 erfuellt uebrigens jede symmetrische Bilinearform die Bedingung [mm] $\phi(v', [/mm] v) = [mm] -\phi(v, [/mm] v')$, da $-1 = 1$ ist. Aber nicht jede davon erfuellt [mm] $\phi(v, [/mm] v) = 0$ fuer alle $v$. Nimm z.B. $V = K$, [mm] $\phi(x, [/mm] y) = x y$. Es gilt [mm] $\phi(1, [/mm] 1) = 1 [mm] \neq [/mm] 0$, und es gilt ebenfalls [mm] $\phi(v, [/mm] v') = [mm] -\phi(v, [/mm] v') = [mm] -\phi(v', [/mm] v)$.
> Was ich nun gerne für eine Erklärung hätte wäre
> zunächst einmal eine verständliche Erklärung über die
> Charakteristik (Ich dachte, ich hätte es verstanden.. nun
> sehe ich es ein bisschen anders.. ^^) und natürlich
> vielleicht an diesen 2 Beispielen warum es wichtig ist,
> dass char(K) [mm]\not=[/mm] 2 ist!
Nun, wie schon gesagt, [mm] $\Char(K) \neq [/mm] 2$ bedeutet $2 [mm] \neq [/mm] 0$ in $K$, man kann aus $v + v = 2 v = 0$ also folgern $v = 0$ indem man mit [mm] $2^{-1}$ [/mm] multipliziert.
Eine andere Stelle, wo die Charakteristik wichtig ist, sind Ableitungen von Polynomen. Ist etwa [mm] $\Char(K) [/mm] = 2$ und $f [mm] \in [/mm] K[x]$, so gilt immer $f'' = 0$, egal welchen Grad $f$ hat. (Es ist ja [mm] $(x^n)'' [/mm] = n (n - 1) [mm] x^{n - 2}$, [/mm] und entweder $n$ oder $n - 1$ ist durch 2 teilbar.)
Insbesondere gilt nicht die Taylorformel: [mm] $f(x_0 [/mm] + h) = [mm] \sum_{i=0}^{\deg f} \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!} h^i$ [/mm] fuer $f [mm] \in [/mm] K[x]$, [mm] $x_0, [/mm] h [mm] \in [/mm] K$. Das funktioniert nur, wenn [mm] $\deg [/mm] f < Char(K)$ ist: andernfalls versuchst du naemlich durch [mm] $(\deg [/mm] f)!$ zu teilen, was 0 ist (da es als Faktor $Char(K)$ enthaelt).
(Hier kann man sich aber behelfen, indem man die Hasse-Ableitungen einfuehrt. Die haben nicht ganz so tolle Eigenschaften wie die "normalen" Ableitungen, aber fast so tolle, und sie haben vor allem dieses Problem nicht.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:31 Do 06.08.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Felix
Ich werde mir deine Beweise und Ausführungen zwar noch ein paar mal anschauen müssen, trotzdem hast du mir wieder einmal sehr helfen können :)
Gerade die Beispiele in der (eher) anschaulicheren Analysis waren sehr hilfreich.
Danke also nochmals ganz herzlich für deine Erklärungen :)
Grüsse, Amaro
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