Charakterisierung von R < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 So 06.10.2013 | | Autor: | phychem |
Hallo
Ich hab mir gerade den wikipedia-Artikel zu den reellen Zahlen durchgelesen und da stehen zwei Charakterisierungen der reellen Zahlen:
1. Geordneter Körper, der ordnungsvollständig ist (der also das Supremumsaxiom oder äquivalent dazu das Schnittaxiom erfüllt).
2. Geordneter Körper, der bzgl. des Absolutbetrags vollständig ist oder äquivalent dazu das Intervallschachtellungsprinzip erfüllt, UND der archimedisch angeordnet ist.
http://de.wikipedia.org/wiki/Reelle_Zahl
Meine Frage:
Wieso wird im zweiten Fall das Archimedische Axiom explizit gefordert?
Bekanntlich impliziert das Supremumsaxiom (sowie das dazu äquivalente Schnittaxiom) ja gerade auch das Archimedische Axiom, weshalb dieses in der ersten Charakterisierung nicht explizt gefordert werden muss. Nun meinte ich, dass das Supremumsaxiom/Schnittaxiom ja auch gerade äquivalent zum Intervallschachtellungsprinzip ist. Gilt die Implikation Intervallschachtellungsprinzip => Supremumsaxiom/Schnittaxiom etwa nur, wenn das archimedische Axiom vorausgesetzt wird?
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Hallo,
> Ich hab mir gerade den wikipedia-Artikel zu den reellen
> Zahlen durchgelesen und da stehen zwei Charakterisierungen
> der reellen Zahlen:
>
> 1. Geordneter Körper, der ordnungsvollständig ist (der
> also das Supremumsaxiom oder äquivalent dazu das
> Schnittaxiom erfüllt).
>
> 2. Geordneter Körper, der bzgl. des Absolutbetrags
> vollständig ist oder äquivalent dazu das
> Intervallschachtellungsprinzip erfüllt, UND der
> archimedisch angeordnet ist.
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Reelle_Zahl
>
> Meine Frage:
> Wieso wird im zweiten Fall das Archimedische Axiom explizit
> gefordert?
>
> Bekanntlich impliziert das Supremumsaxiom (sowie das dazu
> äquivalente Schnittaxiom) ja gerade auch das Archimedische
> Axiom, weshalb dieses in der ersten Charakterisierung nicht
> explizt gefordert werden muss.
Ja.
> Nun meinte ich, dass das
> Supremumsaxiom/Schnittaxiom ja auch gerade äquivalent zum
> Intervallschachtellungsprinzip ist. Gilt die Implikation
> Intervallschachtellungsprinzip =>
> Supremumsaxiom/Schnittaxiom etwa nur, wenn das
> archimedische Axiom vorausgesetzt wird?
Ja.
Das Intervallschachtelungsprinzip oder das auch die Cauchy-Vollständigkeit ist schwächer als das Schnittaxiom.
Einen Beweis für die Richtung Cauchy --> Dedekind findest du in "Lattices and Ordered Algebraic Structures" von T.S. Blyth, Seite 184. (Gibt es auf Google Books...)
Man braucht das Archimedische Axiom gewissermaßen dafür, dass die reellen Zahlen nicht "wesentlich" größer als die natürlichen Zahlen sind.
Das kann z.B. die Cauchy-Vollständigkeit nicht leisten.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 So 06.10.2013 | | Autor: | phychem |
Danke für die Antwort.
Was mich noch etwas verwirrt: Im "Königsberger Analysis 1" findet man auf Seite 14 ein Beweis der Implikation Intervallschachtellungsprinzip => Supremumsaxiom (welches ja äquivalent zum Schnittaxiom ist) und ich hab eben im folgenden Skript auf Seite 40/41 ein Beweis der Implikation Intervallschachtellung => Schnittaxiom gefunden:
![[]](/images/popup.gif) Link
Überseh ich etwas? Wird in diesen Beweisen irgendwo indirekt von der archimedischen Anordnung Gebrauch gemacht?
Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:51 So 06.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo phychem,
> Was mich noch etwas verwirrt: Im "Königsberger Analysis 1"
> findet man auf Seite 14 ein Beweis der Implikation
> Intervallschachtellungsprinzip => Supremumsaxiom (welches
> ja äquivalent zum Schnittaxiom ist) und ich hab eben im
> folgenden Skript auf Seite 40/41 ein Beweis der Implikation
> Intervallschachtellung => Schnittaxiom gefunden:
>
> Link
>
> Überseh ich etwas? Wird in diesen Beweisen irgendwo
> indirekt von der archimedischen Anordnung Gebrauch gemacht?
Ja, in der Tat sehr versteckt. Beim Beweis von [mm] $\operatorname{diam}(I_m)\to0$ [/mm] für [mm] $m\to\infty$ [/mm] braucht man den zweiten Teil von Satz 2.3.6. Der wiederum wird mithilfe des ersten Teils von Satz 2.3.6 bewiesen. Beim Beweis dieses Teils wurde eine Konsequenz des archimedischen Axioms benutzt.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 So 06.10.2013 | | Autor: | phychem |
Danke für die Antwort. Ja, jetzt seh ich es auch.
Beim Beweis im Königsberger (Intervallschachtelungsprinzip => Supremumsaxiom) erkenn ich allerdings noch immer kein Gebrauch des archimedischen Axioms:
Ich hab den Beweis mal abgeschrieben als Bild hochgeladen:
Link
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:06 Mo 07.10.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke für die Antwort. Ja, jetzt seh ich es auch.
>
> Beim Beweis im Königsberger (Intervallschachtelungsprinzip
> => Supremumsaxiom) erkenn ich allerdings noch immer kein
> Gebrauch des archimedischen Axioms:
>
>
> Ich hab den Beweis mal abgeschrieben als Bild hochgeladen:
>
> Link
Auch hier wird wieder Archimedes verwendet: naemlich in dem Teil, der dort nicht steht. Man muss ja noch zeigen, dass [mm] $\lim_{n\to\infty} (b_n [/mm] - [mm] a_n) [/mm] = 0$ ist. Da [mm] $b_n [/mm] - [mm] a_n [/mm] = [mm] 2^{-n+1} (b_1 [/mm] - [mm] a_1)$ [/mm] ist muss man im Prinzip zeigen, dass [mm] $2^{-n} \to [/mm] 0$ fuer $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Genauer: du suchst zu $s - s'$ ein $n$ mit [mm] $2^{-n+1} (b_1 [/mm] - [mm] a_1) [/mm] < s - s'$. Und dafuer brauchst du auch wieder Archimedes, da [mm] $2^n$ [/mm] (eine natuerliche Zahl) hier groesser als die reelle Zahl [mm] $\frac{1}{s - s'} [/mm] > 0$ werden muss.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:44 Mo 07.10.2013 | | Autor: | phychem |
Ach stimmt, daran hab ich gar nicht gedacht (also die Konvergenz zu hinterfragen). Eigentlich der gleiche "Grund" wie im vorherigen Beweis...
Danke für diese sehr schlüssige Antwort.
Jetzt bin auch ich überzeugt :)
[mm] \IR [/mm] kann also als ordnungsvollständiger geordneter Körper oder (äquivalent dazu) als archimedisch geordneter und bzgl. des Absolutbetrags vollständiger Körper charakterisiert werden.
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