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| Aufgabe | | Ist f eine ganze Funktion mit [mm] f(\IR) \subset f(\IR) [/mm] und [mm] f(i*\IR) \subset f(i*\IR), [/mm] so ist f ungerade (d.h. f(-z)=-f(z) für alle [mm] z\in \IC) [/mm] |
Hi. Habe bei der Aufgabe irgendwie eine Blockade. Hat jemand vielleicht einen Tipp für mich. Bis jetzt hab ich mir die Tayloreihe in 0 angeschaut, diese ist ja auf ganz [mm] \IC [/mm] konvergent. Man könnte doch zeigen, dass die Koeffizienten [mm] a_{n} [/mm] der Taylorreihe in Null, für n gerade verschwinden. Weitergekommen bin ich damit allerdings nicht wirklich.
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Hallo,
> Ist f eine ganze Funktion mit [mm]f(\IR) \subset f(\IR)[/mm] und
> [mm]f(i*\IR) \subset f(i*\IR),[/mm] so ist f ungerade (d.h.
> f(-z)=-f(z) für alle [mm]z\in \IC)[/mm]
Du meinst sicher [mm] $f(\IR) \subset \IR$, [/mm] $f(i [mm] \IR) \subset i\IR$.
[/mm]
> Hi. Habe bei der Aufgabe irgendwie eine Blockade. Hat
> jemand vielleicht einen Tipp für mich. Bis jetzt hab ich
> mir die Tayloreihe in 0 angeschaut, diese ist ja auf ganz
> [mm]\IC[/mm] konvergent. Man könnte doch zeigen, dass die
> Koeffizienten [mm]a_{n}[/mm] der Taylorreihe in Null, für n gerade
> verschwinden. Weitergekommen bin ich damit allerdings nicht
> wirklich.
Das ist doch ein guter Ansatz.
Also hast du $f(z) = [mm] \sum_{i=0}^{\infty}a_i z^{i}$, [/mm] die Entwicklung um den Punkt x = 0.
Wie werden denn die Koeffizienten [mm] $a_i$ [/mm] gebildet? Kannst du mit Hilfe von [mm] $f(\IR) \subset \IR$ [/mm] zeigen, dass diese reell sein müssen?
Mittels $f(i [mm] \IR) \subset i\IR$ [/mm] kannst du dann zeigen, dass die Koeffizienten mit geradem Index verschwinden.
Viele Grüße,
Stefan
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Vielen Dank für deine so flotte Hilfe. Ich werds im folgenden mal versuchen:
Da f eine ganze Funktion ist, ist sie in Null unendlich oft komplex differenzierbar und wegen f [mm] (\IR) \subset \IR [/mm] und der Defintion der komplexen Differenzierbarkeit, folgt induktiv [mm] f^{(n)}(0) \in \IR [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
=> [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{f^{(n)}(0)}{n!} \in \IR
[/mm]
Aus f(i) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}*i^{n} \in i*\IR [/mm] folgt [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{2*n}*(-1)^{2n}*(x)^{2n}= [/mm] 0.
Angeommen [mm] a_{2*n} [/mm] verschwindet nicht für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Sei dann k der kleinste Index [mm] a_{2*k} [/mm] mit [mm] a_{2*k}\not=0 [/mm] und sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0
=> [mm] |a_{2*k}| [/mm] = [mm] |\summe_{n=k+1}^{\infty} a_{2*n}*(-1)^{2n}*(\varepsilon)^{2(n-k)}|
[/mm]
Da dies für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 folgt [mm] a_{2*k} [/mm] = 0 im Widerspruch zur annahme. Also verschwinden alle [mm] a_{n} [/mm] für n gerade und somit ist f ungerade.
Ist das richtig so?
Liebe Grüße
Carl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 08.10.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Do 10.10.2013 | | Autor: | fred97 |
Ganz so einfach, wie Stefan sich das gedacht hat , ist die Sache nicht.
Sei also f eine ganze Funktion.
1. Gilt $ [mm] f(\IR) \subset \IR [/mm] $ und $ f(i [mm] \IR) \subset i\IR [/mm] $, so folgt: f(0)=0.
Beweise das ! Dazu brauchst Du nur die Stetigkeit von f in 0.
2. Sei [mm] z_0 \in \IR. [/mm] Dann ist
[mm] f'(z_0)=\limes_{z\rightarrow 0, z \in \IR}\bruch{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}.
[/mm]
Wegen [mm] f(\IR) \subset \IR, [/mm] ist [mm] f'(z_0) \in \IR.
[/mm]
3. Sei [mm] $z_0 \in i*\IR$. [/mm] Dann ist
[mm] f'(z_0)=\limes_{z\rightarrow 0, z \in i*\IR}\bruch{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}.
[/mm]
Wegen [mm] f(i*\IR) \subset \IR, [/mm] ist [mm] $f'(z_0) \in i*\IR.$
[/mm]
4. Aus 2. und 3. folgt also
[mm] f'(\IR) \subset \IR [/mm] und [mm] f'(i*\IR) \subset \IR.
[/mm]
5. Wie in 2. und 3. zeigt man:
[mm] f''(\IR) \subset \IR [/mm] und [mm] f''(i*\IR) \subset i*\IR.
[/mm]
6. Zeige nun induktiv:
[mm] f^{(n)}(\IR) \subset \IR [/mm] und [mm] f^{(n)}(i*\IR) \subset \IR [/mm] , falls n ungerade
und
[mm] f^{(n)}(\IR) \subset \IR [/mm] und [mm] f^{(n)}(i*\IR) \subset i*\IR [/mm] , falls n gerade.
7. Wir haben also (wie in 1.):
[mm] f^{(n)}(0)=0, [/mm] falls n gerade.
8. Mit 7. und der auf ganz [mm] \IC [/mm] gültigen Potenzreihenentwicklung
[mm] f(z)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{(n)}(0)}{n!}*z^n
[/mm]
folgt die Behauptung.
FRED
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