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| Aufgabe | Seien X und Y Mengen. Wir schreiben [mm] Y^X [/mm] für die Menge aller Funkionen von X nach Y. Ist f: X [mm] \to [/mm] Y so eine Funktion, so schreiben wir [mm] \gamma_f [/mm] = {(x,f(x))|x [mm] \in [/mm] X} [mm] \subset [/mm] X x Y für den Graphen von f. Zeigen Sie:
Die Abbildung [mm] \gamma: Y^X \subset [/mm] P(X x Y), f [mm] \mapsto \gamma_f [/mm] ist injektiv. Charakterisieren Sie das Bild [mm] \gamma(Y^X). [/mm] |
Ehrlich gesagt, überfordert mich die Aufgabe gerade generell. Man müsste doch a) zeigen warum der ganze Ausdruck injektiv ist und b) das entsprechende Bild charakterisieren.
Allerdings bin ich mir bei beiden nicht sicher, wie ich voran zu gehen hätte.
Ich sollte wohl auch noch erwähnen, dass ich erst seit kurzem in den Genuss dieses Typus von Aufgaben komme.
Wäre um jede Hilfe dankbar.
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Seien X und Y Mengen. Wir schreiben [mm]Y^X[/mm] für die Menge
> aller Funktionen von X nach Y. Ist f: X [mm]\to[/mm] Y so eine
> Funktion, so schreiben wir [mm]\gamma_f\ =\ \{(x,f(x))\ |\ x \ \in\ X\,\} \subset X\, \times\, Y\ [/mm]
> für den Graphen von f.
> Zeigen Sie:
> 1.) Die Abbildung [mm]\gamma: Y^X \subset[/mm] P(X [mm] \times [/mm] Y), f [mm]\mapsto \gamma_f[/mm]
> ist injektiv.
> 2.) Charakterisieren Sie das Bild [mm]\gamma(Y^X).[/mm]
> Ehrlich gesagt, überfordert mich die Aufgabe gerade
> generell. Man müsste doch a) zeigen warum der ganze
> Ausdruck injektiv ist und b) das entsprechende Bild
> charakterisieren.
Hallo Marvin1979,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
1.) zur Injektivität:
Es seien [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] zwei nicht identische Funktionen.
Das bedeutet, dass wenigstens ein [mm] x\in{X} [/mm] existiert
mit [mm] f_1(x)\not=f_2(x)
[/mm]
Zu zeigen ist nur, dass dann auch [mm] $\gamma_{f_1}\not=\gamma_{f_2}$ [/mm]
2.) [mm]\gamma(Y^X)[/mm]
Diese Menge ist die Vereinigungs- Menge aller Graphen
[mm] \gamma_{f} [/mm] für alle möglichen Funktionen f: X [mm] \to [/mm] Y
Man könnte diese Menge auch so beschreiben:
Es ist die Menge aller linkstotalen und rechts-
eindeutigen Relationen $ [mm] R\in P(X\times [/mm] Y)$
siehe: ![[]](/images/popup.gif) Relationen und Funktionen
also die Menge aller Teilmengen R von [mm] X\times{Y} [/mm] mit
der Eigenschaft, dass zu jedem [mm] x\in [/mm] X genau ein Paar
$\ (x,y)$ mit [mm] y\in [/mm] Y und [mm] (x,y)\in [/mm] R existiert.
LG , Al-Chw.
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Hallo Al-Chwarizmi,
erstmal vielen Dank für das nette "Willkommen" in diesem Forum, wenngleich ich wohl doch den ein oder anderen Autor derzeit noch mit meinem Nicht-Wissen quäle.
zu 1)
Injektivität in diesem Beispiel von dir zeigt sich doch dann, wenn die Werte aus [mm] f_2 [/mm] höchstens einmal "getroffen" werden, oder?
Leider ist mir derzeit bei Formulieren wie "Zeigen Sie", "Es ist zu zeigen" oder "Beweisen Sie" immer noch sehr oft unklar, wie ich an den Beweis herangehen soll - eventuell ist da meine "Denke" vom Gymnasium auch noch im Weg.
Könntest du mir vielleicht deinen Ansatz noch etwas genauer aufzeigen?
zu 2)
Bitte nicht gleich loslachen, aber würde in diesem Fall deine Aussage als "Charakterisierung" des Bildes reichen oder muss/sollte dass auch noch "gezeigt" werden, um mein Lieblingswort zu verwenden.
Und ja, ich muss zugeben, dass die Vorlesungen zu diesem Thema derzeit noch nicht weiterhelfen und Grundlagenarbeit durchaus von Nöten ist.
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> zu 1)
>
> Injektivität in diesem Beispiel von dir zeigt sich doch
> dann, wenn die Werte aus [mm]f_2[/mm] höchstens einmal "getroffen"
> werden, oder?
Hallo,
nicht die Werte aus [mm] f_2!
[/mm]
Injektivität: auf jedes Element der Zielmenge wird höchstens ein Element des Definitionsbereiches abgebildet.
Anders gesagt: haben zwei Elemente den gleichen Funktionswert, sind sie gleich.
Zu betrachten ist die Funktion
[mm] \gamma: Y^X \to [/mm] P(X [mm] \times [/mm] Y),
f [mm] \mapsto \gamma_f
[/mm]
Schauen wir diese Funktion [mm] \gamma [/mm] genauer an.
Was macht sie?
Sie ordnet jeder Funktion f, die von X nach Y abbildet, eine gewisse Teilmenge der Menge [mm] X\times [/mm] Y zu.
Wie macht sie das? So:
für jedes f ist [mm] \gamma (f):=\gamma_f.
[/mm]
[mm] \gamma [/mm] ordnet also jeder Funktion ihren Graphen zu.
Zu zeigen ist jetzt die Injektivität,
daß also zu je zwei verschiedenen Funktionen auch verschiedene Graphen gehören.
Merkst Du, daß wir bisher nur die Aufgabe und ihre Zutaten sehr genau unter die Lupe genommen haben?
Das muß man vor Beginn eines Beweises immer tun.
Man kann sich solche recht allgemeinen Beispiele auch mal konkretisieren.
Nehmen wir doch mal [mm] X=Y=\IR.
[/mm]
[mm] Y^X [/mm] ist also dann die Menge aller reellen Funtionen, [mm] X\times [/mm] Y die xy-Ebene im normalen Koordinatensystem.
Nehmen wir jetzt mal [mm] f_1(x):=x^2.
[/mm]
Dann ist
[mm] \gamma(f_1)=\{(x,x^2)|x\in\IR\}.
[/mm]
Die in dieser Menge enthaltenen Punkte sind der Graph von [mm] f_1, [/mm] das, was Du hinmalst, wenn Du den Graphen zeichnen sollst.
So, nun machen wir uns an den Beweis:
zu zeigen ist die Injektivität der Funktion [mm] \gamma.
[/mm]
Angenommen es gibt zwei Elemente [mm] f_1, f_2\in [/mm] X, die verschieden sind, also [mm] f_1\not=f_2.
[/mm]
Gezeigt werden muß nun
[mm] \gamma (f_1)\not=\gamma (f_2).
[/mm]
Sei also [mm] f_1\not=f_2.
[/mm]
Wenn sie ungeich sind, stimmen sie an mindestens einer Stelle nicht überein.
Es gibt also ein [mm] x'\in [/mm] X mit [mm] f_1(x')\not=f_2(x').
[/mm]
Nun schau mal die Funktionswerte von [mm] \gamma [/mm] an den Stellen [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] an,
betrachte also [mm] \gamma (f_1) [/mm] und [mm] \gamma (f_2).
[/mm]
Können sie gleich sein?
Nein, denn...
> zu 2)
> Bitte nicht gleich loslachen, aber würde in diesem Fall
> deine Aussage als "Charakterisierung" des Bildes reichen
Über Al Charizmis Hinweis muß ich nochmal mit ihm reden.
Ich würde so sagen:
[mm] \gamma (Y^X)=\{\gamma (f)| f\in Y^X\} \qquad [/mm] (Menge aller vorkommenden Funktionswerte)
[mm] =\{\gamma_f|f\in Y^X\}\qquad [/mm] (Menge aller Funktionsgraphen von Funktionen, die von X nach Y abbilden.)
> oder muss/sollte dass auch noch "gezeigt" werden, um mein
> Lieblingswort zu verwenden.
Ich habe hierfür nur die Definitionen verwendet.
Mehr muß man meiner Meinung nach hier nicht zeigen.
LG Angela
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>
> 2.) [mm]\gamma(Y^X)[/mm]
>
> Diese Menge ist die Vereinigungsmenge aller Graphen
> [mm]\gamma_{f}[/mm] für alle möglichen Funktionen f: X [mm]\to[/mm] Y
Moin,
das stimmt doch nicht, oder?
Wenn ich alle Graphen vereinige, bekomme ich eine Teilmenge von [mm] X\times [/mm] Y (nämlich [mm] X\times [/mm] Y), dh. ein Element von [mm] P(X\times [/mm] Y).
Das Bild ist aber eine Teilmenge von [mm] P(X\times [/mm] Y).
LG Angela
>
> Zunächst mal nur so viel.
>
> LG , Al-Chw.
>
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> > 2.) [mm]\gamma(Y^X)[/mm]
> >
> > Diese Menge ist die Vereinigungsmenge aller Graphen
> > [mm]\gamma_{f}[/mm] für alle möglichen Funktionen f: X [mm]\to[/mm] Y
>
> Moin,
>
> das stimmt doch nicht, oder?
> Wenn ich alle Graphen vereinige, bekomme ich eine
> Teilmenge von [mm]X\times[/mm] Y (nämlich [mm]X\times[/mm] Y), dh. ein
> Element von [mm]P(X\times[/mm] Y).
> Das Bild ist aber eine Teilmenge von [mm]P(X\times[/mm] Y).
>
> LG Angela
Guten Tag Angela,
klar, du hast Recht. Vermutlich hatte ich wieder mal
zu viele Dinge gleichzeitig im Kopf und war deshalb
nicht ganz bei der Sache.
Jetzt gerade lockt mich aber der Sonnenschein, einen
zwar kalten aber sehr schönen Tag in der Höhe zu
verbringen. Gelegenheit, den Kopf ein wenig auszu-
lüften ...
Gruß , Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 Di 12.11.2013 | | Autor: | Marvin1979 |
Hallo ihr zwei,
vielen lieben Dank, zumindest ist die Aufgabe und auch die herangehensweise etwas klarer geworden.
Klar ist aber auch, dass hier noch viel Arbeit und Übung auf mich wartet.
Aber wenn man so gute Unterstützung erhält, kann ja auf lange Sicht nicht alles schief gehen.
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