Charaktergruppe/Isomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Di 22.03.2011 | | Autor: | sbh |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://matheplanet.com/
Hallo,
ich habe eine endliche abelsche Gruppe A und muss beweisen, dass sie isomorph zur Charaktergruppe [mm] \hat A [/mm] ist.
Mein Ansatz:
Da ich ja A eine enlich abelsche Gruppe habe, kann ich sie in zyklische Untergruppen zerlegen.
Also kann ich schreiben:
[mm] A= H_1 \oplus H_2 \oplus ... \oplus H_r [/mm]
Die Abbildung
[mm] \hat A -> \hat H_1 \times \hat H_2 \times ... \times \hat H_r [/mm]
mit
[mm] \chi -> ( \chi|_{H_1}, ..., \chi|_{H_r}) [/mm]
ist dann ein Isomorphismus.
Simmt des soweit?
Wenn ich jetzt noch weiß, dass dies für zyklische Gruppen stimmt ( also dass H zyklisch und somit [mm] H \cong \hat H [/mm]), hab ich doch bewiesen, dass [mm] A \cong \hat A [/mm] ist, oder?
Leider leuchtet mir dies nicht ein?
Wie kann man dies zeigen???
Vielen Dank!
Grüße sbh
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Di 22.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich habe eine endliche abelsche Gruppe A und muss beweisen,
> dass sie isomorph zur Charaktergruppe [mm]\hat A[/mm] ist.
>
> Mein Ansatz:
>
> Da ich ja A eine enlich abelsche Gruppe habe, kann ich sie
> in zyklische Untergruppen zerlegen.
>
> Also kann ich schreiben:
> [mm]A= H_1 \oplus H_2 \oplus ... \oplus H_r[/mm]
> Die Abbildung
> [mm]\hat A -> \hat H_1 \times \hat H_2 \times ... \times \hat H_r[/mm]
>
> mit
> [mm]\chi -> ( \chi|_{H_1}, ..., \chi|_{H_r})[/mm]
> ist dann ein
> Isomorphismus.
>
> Simmt des soweit?
Ja, das stimmt so.
Das folgt wieder aus [mm] $Hom(G_1 \times G_2, [/mm] H) [mm] \cong Hom(G_1, [/mm] H) [mm] \times Hom(G_2, [/mm] H)$ :)
> Wenn ich jetzt noch weiß, dass dies für zyklische Gruppen
> stimmt ( also dass H zyklisch und somit [mm]H \cong \hat H [/mm]),
> hab ich doch bewiesen, dass [mm]A \cong \hat A[/mm] ist, oder?
Ja.
> Leider leuchtet mir dies nicht ein?
Na, nimm doch mal so eine endliche zyklische Gruppe $G = [mm] \langle [/mm] g [mm] \rangle$. [/mm] Dann ist ein Homomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : G [mm] \to \IC^\ast$ [/mm] doch bereits vollstaendig (und eindeutig!) definiert durch [mm] $\varphi(g)$. [/mm] Jetzt ueberleg dir welche Werte [mm] $\varphi(g)$ [/mm] annehmen kann, und welche es auch tatsaechlich annimmt.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:28 Mi 23.03.2011 | | Autor: | sbh |
Ich hab es mir jetzt so überlegt:
H zyklische Gruppe der Ordnung n.
Da [mm] h^n=e \ \forall h \in H [/mm] muss [mm] \chi (h) [/mm] eine n-te Einheitswurzel sein (da [mm] \chi(h)^n=\chi(h^n)=\chi(e)=1 [/mm])
Setzt man [mm] \zeta=e^{2\pi i/n} [/mm]
und ist h der Erzeuger der Gruppe von H, so definiert
[mm] \chi_k(h)=\zeta^k, k=0,1..., n-1 [/mm]
alle Charaktere von H, also die Charaktergruppe [mm] \hat H [/mm].
Diese ist ja auch zyklisch und von der Ordnung n, somit
[mm] H \cong \hat H [/mm].
Stimmt das so?
Danke!
Vlg sbh
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 25.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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