Charak. Polynom / vollst. Ind. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Sa 01.03.2008 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | Es sei V ein Vektorraum über einem Körper K mit Basis [mm] (v_1,...,v_n). [/mm] Weiter seien [mm] a_1,...;a_{n-1} [/mm] beliebeige Elemente von K. Die Vorgaben
[mm] \phi (v_i) [/mm] = [mm] \begin{cases} v_{i+1}, & \mbox{für } i < n \\ a_1v_1+a_2v_2+...+a_{n-1}v_{n-1}, & \mbox{für }i = n \end{cases}
[/mm]
legen einen Endomorphismus [mm] \phi [/mm] von V fest.
Man bestimme die Matrix von [mm] \phi [/mm] bezüglich der gegebenen Basis.
Man bestimme das charakt. Polynom. |
Hallo,
ich denke die n [mm] \times [/mm] n Matrix habe ich schon korrekt bestimmt:
[mm] A_n [/mm] := [mm] \pmat{ 0 & 0 &\cdots &0 &a_1 \\
1 & 0 & \cdots & 0&a_2\\
0 & 1& \cdots & 0&a_3\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
0&0&\cdots&1&0}
[/mm]
Nun zum charakteristischen Polynom:
Für gerade n gilt meiner Meinung:
[mm] charakPoly(A_n) =(\summe_{i=1}^{n-1}-a_it^{i-1})+t^n
[/mm]
Für n = 2 stimmt es,
es bleibt für k = n+2 zu zeigen.
jedoch fehlt mir beim Induktionsbeweis jeder Ansatz (schon am Anfang)
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Sa 01.03.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
>
> [mm]A_n[/mm] := [mm]\pmat{ 0 & 0 &\cdots &0 &a_1 \\
1 & 0 & \cdots & 0&a_2\\
0 & 1& \cdots & 0&a_3\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
0&0&\cdots&1&0}[/mm]
Das habe ich auch raus.
> Nun zum charakteristischen Polynom:
>
> Für gerade n gilt meiner Meinung:
>
> [mm]charakPoly(A_n) =(\summe_{i=1}^{n-1}-a_it^{i-1})+t^n[/mm]
>
> Für n = 2 stimmt es,
> es bleibt für k = n+2 zu zeigen.
>
Ich weiß nicht, ob das wirklich stimmt. Du hattest sicher den Gedanken des LaPlace-Entwicklungssatzes im Kopf?! Gute Idee 
charakteristische Polynom ist ja definiert als: [mm] det(A-t\cdot{E}), [/mm] wobei [mm] E\in\IR^{nxn} [/mm] die Einheitsmatrix ist.
[mm] det(A_n-t*E)=[/mm] [mm]\pmat{ -t & 0 &\cdots &0 &a_1 \\
1 & -t & \cdots & 0&a_2\\
0 & 1& \cdots & 0&a_3\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots & a_{n-1}\\
0&0&\cdots&1&-t}[/mm]
Ich will es einmal anhand einer kleineren Matrix deutlich machen.
[mm] A_5=\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & a_1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & a_2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & a_3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & a_4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0}
[/mm]
[mm] det(A_5-t*E)=\pmat{ -t & 0 & 0 & 0 & a_1 \\ 1 & -t & 0 & 0 & a_2 \\ 0 & 1 & -t & 0 & a_3 \\ 0 & 0 & 1 & -t & a_4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -t}
[/mm]
Wir entwickeln nach der 5. Spalte:
[mm] det(A_5-t*E)=a_1*det\pmat{ 1 & -t & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -t & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -t \\ 0 & 0 & 0 & 1}-a_2*det\pmat{ -t & 0 & 0 & 0 & \\ 0 & 1 & -t & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -t \\ 0 & 0 & 0 & 1}+a_3*det\pmat{ -t & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -t & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -t \\ 0 & 0 & 0 & 1}-a_4*det\pmat{ -t & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -t & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -t & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}+(-t)*det\pmat{ -t & 0 & 0 & 0\\ 1 & -t & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -t & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -t }
[/mm]
Wir sehen, wir haben jetzt nur noch Determinaten von oberen bzw. unteren Dreicksmatrizen zu berechnen. Das ist auch der Fall bei [mm] a_3*det\pmat{ -t & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -t & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -t \\ 0 & 0 & 0 & 1}, [/mm] weil man diese Matrix über Gauß auf eine obere Dreiecksmatrix bringen kann, was nichts an der Determinante ändert.
Desweiteren sehen wir, dass in jeder Iteration ein weiteres -t hinzukommt. Wir können also sagen
[mm] det(A_5-t*E)=a_1-a_2*(-t)+a_3*(-t)^2-a_4*(-t)^3+(-t)*(-t)^4=(\sum^{4}_{i=1}a_i*(-1)^{5-i}*(-t)^{i-1})+(-t)^5
[/mm]
Allg.: [mm] det(A_n-t*E)=(\sum^{n-1}_{i=1}a_i*(-1)^{n-i}*(-t)^{i-1})+(-t)^n
[/mm]
Okay, du hast es genauso, na klasse - Dann habe ich jetzt eben auch was dabei gelernt Nur muss es am Ende [mm] (-t)^n [/mm] heißen, falls n ungerade ist!
Zur Induktion:
Behauptung: Für [mm] n\in\IN [/mm] gilt [mm] detA_n=det[/mm] [mm]\pmat{ -t & 0 &\cdots &0 &a_1 \\
1 & -t & \cdots & 0&a_2\\
0 & 1& \cdots & 0&a_3\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots & a_{n-1}\\
0&0&\cdots&1&-t}[/mm][mm] =(\sum^{n-1}_{i=1}a_i*(-1)^{n-i}*(-t)^{i-1})+(-t)^n
[/mm]
Sei n=2: [mm] det(A_2-t*E)=det\pmat{ -t & a_1 \\ 1 & -t }=t^2-a_1
[/mm]
[mm] (\sum^{1}_{i=1}a_i*(-1)^{2-i}*(-t)^{i-1})+(-t)^2=a_1*(-1)^1*(-t)^0+(-t)^2=-a_1+t^2.
[/mm]
Für n=2 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jetzt musst du es für [mm] n\to{n+1} [/mm] machen.
[mm] det(A_{n+1}-t*E)=det[/mm] [mm]\pmat{ -t & 0 &\cdots &0 &a_1 \\
1 & -t & \cdots & 0&a_2\\
0 & 1& \cdots & 0&a_3\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots & a_{n}\\
0&0&\cdots&1&-t}[/mm]
Jetzt kannst du ein paar Schritte mit LaPlace die Determinante entwickeln und berechnest dann
[mm] det(A_{n+1}-t*E) [/mm] mit der aufgestellten Formel und guckst, ob das übereinstimmt.
MfG barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Sa 01.03.2008 | | Autor: | Rutzel |
> [mm]det(A_{n+1}-t*E)=det[/mm] [mm]\pmat{ -t & 0 &\cdots &0 &a_1 \\
1 & -t & \cdots & 0&a_2\\
0 & 1& \cdots & 0&a_3\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots & a_{n}\\
0&0&\cdots&1&-t}[/mm]
>
> Jetzt kannst du ein paar Schritte mit LaPlace die
> Determinante entwickeln und berechnest dann
>
genau hier stannd ich auf dem schlauch. danke für deine hilfe!
gruß,
rutzel
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