Char. Polynom umformen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Mi 05.09.2012 | | Autor: | PaulW89 |
| Aufgabe | Es seien
[mm] A=\pmat{ 2 & 1 & -2 \\ 1 & \bruch{7}{2} & 1 \\ -2 & 1 & 2 }, \vec{x}=\vektor{2\\-1\\2}.
[/mm]
a) Ist [mm] \vec{x} [/mm] ein Eigenvektor der Matrix A? Wie lautet der zugehörige Eigenwert?
b) Bestimmen Sie alle anderen Eigenvektoren. Führen Sie eine Probe durch. |
Hallo,
hier geht es um Aufgabenteil b). Da ich mir jedoch nicht sicher bin, ob Aufgabenteil a) nicht vielleicht zur Lösung beiträgt, habe ich ihn oben mit aufgeführt.
(Als Eigenvektor habe ich [mm] \vektor{-1\\\bruch{1}{2}\\-1} [/mm] ermittelt, also lautet der Eigenwert [mm] \lambda_{1}=-2 [/mm] .)
Mein charakteristisches Polynom von A lautet:
[mm] 0=-\lambda^{3}+\bruch{15}{2}\lambda^{2}-12\lambda-8
[/mm]
(EDIT: [mm] -12\lambda [/mm] statt [mm] -14\lambda.)
[/mm]
Es handelt sich um eine alte Klausuraufgabe, daher muss das irgendwie ohne CAS/TR lösbar sein. Muss ich hier wirklich die Nullstellen raten, oder gibt es eine schönere Umformung, die ich verpasst habe? Hilft mir das Ergebnis aus Aufgabenteil a) hier in irgendeiner Form?
Hier nochmal das Polynom, bevor ich es komplett ausmultipliziert habe:
[mm] 0=(\bruch{7}{2}-\lambda)[(2-\lambda)^{2}-4]-8
[/mm]
Vielen Dank für euren Input sagt
Paul!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 Mi 05.09.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
ich habe jetzt das charakteristische Polynom nicht nachgerechnet. Aber mit dem Aufgabenteil a) hast du ja bereits einen Eigenwert, also eine Nullstelle des Charakteristischen Polynoms. Ich würde also einfach mal eine Polynomdivision machen und schauen was rauskommt...
Edit: Habs doch ausgerechnet. Das charakteristische Polynom stimmt nicht und auch der Eigenwert aus a) stimmt nicht.
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:38 Mi 05.09.2012 | | Autor: | PaulW89 |
Hallo,
danke für den Denkanstoß! Natürlich, die Nullstelle muss ich garnicht raten, ich kenne sie bereits.
Vorrausgesetzt, ich berechne sie richtig.
Dass ich Mist gerechnet habe, ist mir auch gerade aufgefallen. :o)
Die Frage kann als beantwortet gelten, ich mach mich mal ans rechnen.
Gruß!
Paul
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 Mi 05.09.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
damit man nicht selbst rechnen muss bzw. zur ![[]](/images/popup.gif) Kontrolle
Grüße
|
|
|
|
