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| Aufgabe | | Berechne das Volumen der Einheitskugel [mm] K_{3}={x \in R^3; \parallel x \parallel \le 1} [/mm] |
Hallo!
Ich habe nicht verstanden, wie ich das Prinzip von Cavalieri anwenden kann.
Hier die Version von meinem Prof:
Sei [mm] \omega \subset \IR^n [/mm] darstellbar durch [mm] \omega=((x_{*},t) \in \IR^{n-1}x\IR;x_{*} \in \omega_{t} [/mm] und a [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] b )
Wenn für jedes [mm] t\in[a,b] [/mm] das Volumen [mm] Vol_{\IR^{n-1}}(\omega_{t}) [/mm] existiert und t-> [mm] Vol_{\IR^{n-1}}(\omega_{t}) [/mm] stetig, dann gilt [mm] Vol_{\IR^n}(\omega)=\integral_{a}^{b} {Vol_{\IR^{n-1}}(\omega_{t})dt}
[/mm]
Man geht im Prinzip eine Dimension kleiner und berechnet da das Volumen? Oder kann mir jemand mit Worten erklären, was da gemacht wird?
So, nun zur Aufgabe:
Den ersten Schritt hab ich vorgegeben:
[mm] Vol_{\IR^3}(K_{3})=\integral_{-1}^{1}{Vol_{\IR^2}((x,y); x^2+y^2<1-z^2)dz}
[/mm]
Ok, die Grenzen sind -1 und 1 wegen der Einheitskugel und sonst versteh ich es auch, jedoch wie soll ich dieses Volumen bestimmen?
Vielen Dank für die Hilfe
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Di 20.09.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du schneidest die Kugel in Kreisscheiben der Dicke dz und radius r(z)
entweder musst du vorher ddie kreisfläche [mm] r^2*\pi [/mm] kennen oder auch wieder ausrechnen.
Kugelkoordinaten sind besser als kartesische, dann statt über z über [mm] \theta [/mm] von [mm] -\pi/2 [/mm] bis [mm] +\pi/2
[/mm]
gruss leduart
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Vielen Dank für deine Erklärung
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