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Cauchysche Integralform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:22 Di 13.12.2011
Autor: katrin10

Aufgabe
Bestimme das Wegintegral [mm] \bruch{1}{2*\pi*i}\integral_{|\gamma|=1}{\bruch{1/x}{x-z} dx}. [/mm] Kann man die Cauchysche Integralformel auch anwenden, falls die Holomorphie im Inneren nicht gegeben ist?

Hallo,

bei dem zu berechnenden Integral habe ich mir verschiedene Fälle angeguckt und das Integral gelöst. Nur bei |z|<1 bin ich mir nicht ganz sicher. Das Integral hat ja für diesen Fall zwei Singularitäten. Deshalb würde ich den Weg (Kreis um 0 mit Radius 1) in zwei Wege unterteilen, sodass ich zwei Integrale habe, allerdings sind dann die beiden Wege keine Kreise mehr, sodass ich die Cauchysche Integralformel nicht anwenden kann.

Katrin
        
Bezug
Cauchysche Integralform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:58 Mi 14.12.2011
Autor: rainerS

Hallo Katrin!

> Bestimme das Wegintegral
> [mm]\bruch{1}{2*\pi*i}\integral_{|\gamma|=1}{\bruch{1/x}{x-z} dx}.[/mm]
> Kann man die Cauchysche Integralformel auch anwenden, falls
> die Holomorphie im Inneren nicht gegeben ist?
>  Hallo,
>
> bei dem zu berechnenden Integral habe ich mir verschiedene
> Fälle angeguckt und das Integral gelöst. Nur bei |z|<1
> bin ich mir nicht ganz sicher. Das Integral hat ja für
> diesen Fall zwei Singularitäten. Deshalb würde ich den
> Weg (Kreis um 0 mit Radius 1) in zwei Wege unterteilen,
> sodass ich zwei Integrale habe, allerdings sind dann die
> beiden Wege keine Kreise mehr, sodass ich die Cauchysche
> Integralformel nicht anwenden kann.

Die Cauchysche Integralformel gilt auch für nicht kreisförmige Wege.

Eine andere Methode: Forme den Integranden durch Partialbruchzerlegung um:

[mm] \bruch{1/x}{x-z} = \bruch{A}{x} + \bruch{B}{x-z} [/mm] ,

dann kannst du jedes der beiden Einzelintegrale mit der Integralformel berechnen.

  Viele Grüße
    Rainer

Bezug
                
Bezug
Cauchysche Integralform: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:40 Mi 14.12.2011
Autor: katrin10

Vielen Dank für den Tipp.
Bezug
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