Cauchyprodukt nicht konvergent < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:17 Fr 05.08.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Sei für [mm] $n\in \IN [/mm] $
[mm] $a_{n}= b_{n}= \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}$ [/mm] und [mm] $c_{n} [/mm] := [mm] \sum_{k=0}^{n} a_{n-k}b_{k}$
[/mm]
Man zeige, dass [mm] $\sum a_{n}$ [/mm] und $ [mm] \sum b_{n}$ [/mm] konvergieren aber ihr Cauchyprodukt nicht. |
Hallo,
[mm] $t_{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{n}} \ge \frac{1}{\sqrt{n+1}}$ [/mm] und $0 [mm] \leftarrow t_{n\rightarrow \infty}$ [/mm]
Damit ist das Leibnizkriterium erfüllt und die Konvergenz von [mm] $\sum a_{n}$ [/mm] gezeigt.
[mm] $\sum c_{n} [/mm] $ entspricht [mm] $\sum _{n=0}^{\infty} \sum _{k=0}^{n}a_{n-k}b_{k} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty} [/mm] ( [mm] (-1)^{n} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{n-k}}\cdot \frac{1}{\sqrt{k}})$ [/mm]
Stimmt das so weit? Wie bekommt man eines oder beide Summenzeichen weg? Oder muss man die lassen und abschätzen???
Danke für jegliche Hilfe!!!
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Sei für [mm]n\in \IN[/mm]
>
> [mm]a_{n}= b_{n}= \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}[/mm] und [mm]c_{n} := \sum_{k=0}^{n} a_{n-k}b_{k}[/mm]
>
> Man zeige, dass [mm]\sum a_{n}[/mm] und [mm]\sum b_{n}[/mm] konvergieren aber
> ihr Cauchyprodukt nicht.
> Hallo,
>
>
> [mm]t_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} \ge \frac{1}{\sqrt{n+1}}[/mm] und [mm]0 \leftarrow t_{n\rightarrow \infty}[/mm]
>
> Damit ist das Leibnizkriterium erfüllt und die Konvergenz
> von [mm]\sum a_{n}[/mm] gezeigt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\sum c_{n}[/mm] entspricht [mm]\sum _{n=0}^{\infty} \sum _{k=0}^{n}a_{n-k}b_{k} = \sum_{n=0}^{\infty} ( (-1)^{n} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{n-k}}\cdot \frac{1}{\sqrt{k}})[/mm]
>
> Stimmt das so weit?
Ja!
> Wie bekommt man eines oder beide
> Summenzeichen weg? Oder muss man die lassen und
> abschätzen???
Damit die letzte Reihe überhaupt konvergent sein kann, muss das Trivialkritierium erfüllt sein, die Folge der Reihenglieder [mm](c_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]c_n=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}\cdot{}\sqrt{n-k}}[/mm] muss also eine Nullfolge sein.
Ist sie das? Wenn nicht, hast du sicher Divergenz ...
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> Danke für jegliche Hilfe!!!
>
>
> Gruss
> kushkush
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Fr 05.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo schachuzipus,
> Trivialkriteriumssatz
Mindestens das letzte Glied von $\sum _{k=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}{\sqrt{n-k}}$ divergiert bzw. konvergiert unbestimmt gegen $\infty$ , also ist auch das Cauchyprodukt divergent.
Richtig argumentiert??
> GruB
Danke!!
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Hallo schachuzipus,
>
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> > Trivialkriteriumssatz
>
>
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> Mindestens das letzte Glied von [mm]\sum _{k=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}{\sqrt{n-k}}[/mm]
Hier muss es doch heißen:
[mm]\sum _{k=\red{1}}^{n\red{-1}} \frac{1}{\sqrt{k}{\sqrt{n-k}}[/mm]
> divergiert bzw. konvergiert unbestimmt gegen [mm]\infty[/mm] , also
> ist auch das Cauchyprodukt divergent.
>
Die Reihenglieder
[mm]c_{n}=\sum _{k={1}}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{k}{\sqrt{n-k}}}, \ n \in \IN, \ n \ge 2[/mm]
divergieren nicht.
>
> Richtig argumentiert??
>
Nein.
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> > GruB
> Danke!!
>
>
> Gruss
> kushkush
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Sa 06.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower,
ist das Cauchy Produkt nicht [mm] $(\sum_{n=0}^{\infty} a_{k})(\sum_{n=0}^{\infty} b_{k})$ [/mm]
dann hätte man [mm] $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{2(n-1)}}{n} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n}$ [/mm]
Divergent nach Integraltestsatz!
stimmt das so?
> Gruss
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 So 07.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Mathepower,
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> ist das Cauchy Produkt nicht [mm](\sum_{n=0}^{\infty} a_{k})(\sum_{n=0}^{\infty} b_{k})[/mm]
..... ist was ????
>
> dann hätte man [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{2(n-1)}}{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n}[/mm]
Wie kommst Du nun auf das ???
>
>
> Divergent nach Integraltestsatz!
>
>
>
> stimmt das so?
Nein
FRED
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>
>
>
> > Gruss
> Danke
>
>
> Gruss
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 So 07.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
> wie kommst du nun auf das
Das habe ich geraten.
> Nein
Dann :
$ [mm] \sum _{n=0}^{\infty} \sum _{k=1}^{n-1}a_{n-k}b_{k} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty} [/mm] ( [mm] (-1)^{n} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n-k}}\cdot \frac{1}{\sqrt{k}}) [/mm] $
Es reicht für die Divergenz zu zeigen, wenn [mm] $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n-k}}\cdot \frac{1}{\sqrt{k}})$ [/mm] divergiert. Aber darüber kann ich keine Aussage machen , weil der Index oben nicht [mm] $\infty$ [/mm] ist... ??
> FRED
Danke
KUSH
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Halloo kushkush,
> Hallo
>
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> > wie kommst du nun auf das
>
> Das habe ich geraten.
>
>
> > Nein
>
> Dann :
>
> [mm]\sum _{n=0}^{\infty} \sum _{k=1}^{n-1}a_{n-k}b_{k} = \sum_{n=0}^{\infty} ( (-1)^{n} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n-k}}\cdot \frac{1}{\sqrt{k}})[/mm]
>
> Es reicht für die Divergenz zu zeigen, wenn
> [mm]\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n-k}}\cdot \frac{1}{\sqrt{k}})[/mm]
> divergiert. Aber darüber kann ich keine Aussage machen ,
> weil der Index oben nicht [mm]\infty[/mm] ist... ??
>
Das Reihenglied
[mm]\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n-k}}\cdot \frac{1}{\sqrt{k}}[/mm]
kann aber abgeschätzt werden.
>
>
> > FRED
> Danke
>
> KUSH
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 So 07.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> schätze ab
Es ist :
$ [mm] \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k+n} \le \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n-k}}\frac{1}{\sqrt{k}} \le \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{k}}$
[/mm]
und auch : [mm] $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k-1} \le \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{n-k}}\frac{1}{\sqrt{k}} \le \sum _{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{k} - 1}$
[/mm]
damit wäre es divergent.
Darf man das so abschätzen?
> Gruss
Danke!
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Hallo,
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>
>
> > schätze ab
>
>
> Es ist :
>
> [mm]\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k+n} \le \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n-k}}\frac{1}{\sqrt{k}} \le \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{k}}[/mm]
Offenbar gilt dies für [mm]n \ge2[/mm]
>
> und auch : [mm]\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k-1} \le \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{n-k}}\frac{1}{\sqrt{k}} \le \sum _{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{k} - 1}[/mm]
Dies gilt jedoch erst ab k=2, da für k=1 der Nenner Null wird.
>
> damit wäre es divergent.
>
>
> Darf man das so abschätzen?
>
Die obigen Abschätzungen sind unter den genannten Voraussetzungen richtig.
Ich dachte eher daran, daß zunächst
[mm]\frac{1}{\sqrt{n-k}}\frac{1}{\sqrt{k}}[/mm]
nach unten abgeschätzt wird.
>
>
> > Gruss
> Danke!
>
>
>
> Gruss
> kushkush
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 So 07.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower,
es soll so abgeschätzt werden, dass dann ein Glied der Abschätzung sicher divergiert ??
> [mm] $\frac{1}{\sqrt{n-k}}\frac{1}{\sqrt{k}}$ [/mm] nach unten abschätzen
es ist [mm] $\forall [/mm] n > k [mm] \ne [/mm] 0$:
$ [mm] \frac{1}{\sqrt{nk}} \le \frac{1}{\sqrt{n-k}}\frac{1}{\sqrt{k}}\le \frac{1}{\sqrt{n-k-2}}$
[/mm]
Das obere divergiert für $k=n-2$ und damit divergiert auch die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n-k-2}}\ge \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n-k}\sqrt{k}}$??
[/mm]
> Gruss
Danke!!
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Hallo Mathepower,
>
> es soll so abgeschätzt werden, dass dann ein Glied der
> Abschätzung sicher divergiert ??
Es muss gezeigt werden, daß die Glieder der Reihe keine Nullfolge bilden.
>
> > [mm]\frac{1}{\sqrt{n-k}}\frac{1}{\sqrt{k}}[/mm] nach unten
> abschätzen
>
>
> es ist [mm]\forall n > k \ne 0[/mm]:
>
>
> [mm]\frac{1}{\sqrt{nk}} \le \frac{1}{\sqrt{n-k}}\frac{1}{\sqrt{k}}\le \frac{1}{\sqrt{n-k-2}}[/mm]
>
Ich weiss nicht, woher die ganzen Abschätzungen kommen.
>
> Das obere divergiert für [mm]k=n-2[/mm] und damit divergiert auch
> die Reihe [mm]\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n-k-2}}\ge \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n-k}\sqrt{k}}[/mm]??
>
>
>
> > Gruss
> Danke!!
>
>
>
> Gruss
> kushkush
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 So 07.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower,
> Reihenglieder sind eine Nullfolge
Ich verstehe nicht wie ich das zeigen kann...
aber es gilt doch :
[mm] $\sum \frac{1}{n} \le \sum \frac{1}{\sqrt{nk}} \le \sum|c_{n}| [/mm] := [mm] \sum\frac{1}{\sqrt{n-k}\sqrt{k}} [/mm] $
wobei [mm] $\frac{1}{\sqrt{nk}}$ [/mm] folgt wenn man den Nenner vergrössert in [mm] $\frac{1}{\sqrt{n-k}\sqrt{k}}$ [/mm] und eine Summe wegfällt weil man den Betrag nimmt für den MK-Satz.
Ist das so richtig?
> Gruss
Danke!!
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Hallo Mathepower,
>
> > Reihenglieder sind eine Nullfolge
>
> Ich verstehe nicht wie ich das zeigen kann...
>
>
> aber es gilt doch :
>
> [mm]\sum \frac{1}{n} \le \sum \frac{1}{\sqrt{nk}} \le \sum|c_{n}| := \sum\frac{1}{\sqrt{n-k}\sqrt{k}}[/mm]
>
>
> wobei [mm]\frac{1}{\sqrt{nk}}[/mm] folgt wenn man den Nenner
> vergrössert in [mm]\frac{1}{\sqrt{n-k}\sqrt{k}}[/mm] und eine
> Summe wegfällt weil man den Betrag nimmt für den MK-Satz.
>
>
> Ist das so richtig?
>
Ja, das ist so richtig.
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> > Gruss
>
> Danke!!
>
>
> Gruss
> kushkush
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 So 07.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower,
> daumenhoch
Danke !!
> Gruss
Gruss
kushkush
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