Cauchykriterium für Folgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Sa 26.11.2005 | | Autor: | wimath |
Hallo! Ich sitze schon ein paar Stunden an der Folgenden Aufgabe:
Wir betrachten die durch
[mm] a_{1} [/mm] := 1, [mm] a_{n+1}:= \bruch{2+ a_{n}}{1+a_{n}}
[/mm]
rekursiv definierte reele Zahlenfolge.
(a) Zeigen Sie, dass 1< [mm] \le a_{n} \le2 [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt.
()b) Yeigen Sie, dass | [mm] a_{m} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] | [mm] \le \bruch{1}{4} |a_{m-1} [/mm] - [mm] a_{n-1}| [/mm] für alle natürlichen Zahlen n,m [mm] \ge [/mm] 2 gilt.
(c) Folgern Sie, dass die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] konvergiert, und berechnen Sie den Gernzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}.
[/mm]
Okay, also zu zeigen, dass die Folge gegen 2 kovergiert ist relativ einfach, der Grenzwert ist ja 2, das folgt aus Aufgabe (a) oder nicht? Aber dafür muss ich erstmal beweisen, dass die Folge konvergiert und dass folgere ich aus (b) aber wie? Ich habe versucht den Term so umzufomren dass am Ende | [mm] a_{m} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] | [mm] \le \bruch{1}{4} |a_{m-1} [/mm] - [mm] a_{n-1}| [/mm] steht, aber habs nicht wirklich hingekriegt. Danach kann man ja das Cauchykriterium anwenden, das ist klar!
und bei (a) hab ich mir einfach überlegt, dass [mm] \bruch{2+ a_{n}}{1+a_{n}} [/mm] niemals kleiner als 1 werden kann, denn der Nenner wird nie grösser als der Zähler!Er ist nämlich immer um 1 kleiner. Und dier Bruch kann auch nicht grösser als 2 werden, denn dafür müsste der Zähler grösser als das doppelte des Nenners werden, und das ist ja 2*(1+ [mm] a_{n}) [/mm] = [mm] 2+2a_{n}> 2+1a_{n}, [/mm] da [mm] a_{n} [/mm] eine positive Zahl ist (folgt aus der Definition).
Also für ein paar Tipps wäre ich euch sehr dankbar und falls meine ausgeführten Schlussfolgerung nicht richtig sein sollt, korrigiert mich!
Gruss
wimath
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:41 So 27.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo wimath
>
> [mm]a_{1}[/mm] := 1, [mm]a_{n+1}:= \bruch{2+ a_{n}}{1+a_{n}}[/mm]
>
> rekursiv definierte reele Zahlenfolge.
>
> (a) Zeigen Sie, dass 1< [mm]\le a_{n} \le2[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> gilt.
> ()b) Yeigen Sie, dass | [mm]a_{m}[/mm] - [mm]a_{n}[/mm] | [mm]\le \bruch{1}{4} |a_{m-1}[/mm]
> - [mm]a_{n-1}|[/mm] für alle natürlichen Zahlen n,m [mm]\ge[/mm] 2 gilt.
>
> (c) Folgern Sie, dass die Folge [mm](a_{n})[/mm] konvergiert, und
> berechnen Sie den Gernzwert [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}.[/mm]
>
>
> Okay, also zu zeigen, dass die Folge gegen 2 kovergiert ist
> relativ einfach, der Grenzwert ist ja 2, das folgt aus
> Aufgabe (a) oder nicht?
das folgt nicht aus a) wäre der Grenzwert 1,2 oder 1,9 wär die Ungleichung ja auch noch richtig! Und der Grenzwert ist nicht 2! wenn du an=2 in die Rekursionsformel einsetzt kommt nicht 2 raus. Wenn man den Grenzwert in die Formel einsetzt muss er wieder rauskommen!
Aber dafür muss ich erstmal
> beweisen, dass die Folge konvergiert und dass folgere ich
> aus (b) aber wie? Ich habe versucht den Term so umzufomren
> dass am Ende | [mm]a_{m}[/mm] - [mm]a_{n}[/mm] | [mm]\le \bruch{1}{4} |a_{m-1}[/mm]
> - [mm]a_{n-1}|[/mm] steht, aber habs nicht wirklich hingekriegt.
Wenn dus einfach ausrechnest, (Hauptnenner) hast du doch dann im Nenner
[mm] (1+a_{m-1})*(1+a_{n-1}) [/mm] stehen und weisst dass alle an>1 also wird der Bruch doch größer, wenn man den Nenner verkleinert, also an durch 1 ersetzt!
> Danach kann man ja das Cauchykriterium anwenden, das ist
> klar!
>
> und bei (a) hab ich mir einfach überlegt, dass [mm]\bruch{2+ a_{n}}{1+a_{n}}[/mm]
> niemals kleiner als 1 werden kann, denn der Nenner wird nie
> grösser als der Zähler!Er ist nämlich immer um 1 kleiner.
> Und dier Bruch kann auch nicht grösser als 2 werden, denn
> dafür müsste der Zähler grösser als das doppelte des
> Nenners werden, und das ist ja 2*(1+ [mm]a_{n})[/mm] = [mm]2+2a_{n}> 2+1a_{n},[/mm]
> da [mm]a_{n}[/mm] eine positive Zahl ist (folgt aus der
> Definition).
folgt aus a) nicht aus Def.
Ist nicht falsch ,aber zu ungenau: erst Abschätzung: Bruch verkleinern, indem man Nenner vergrößert, also 1 durch 2 ersetzen.
dann hast du an>1 und kannst für den 2. Teil vergrössern, indem du im Zähler an durch 2an ersetzt.
Du musst das was du sagst immer genauer hinschreiben:
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:50 So 27.11.2005 | | Autor: | Suinatas |
Also wenn ich mir die a) anschaue dann könnte ich das doch durch:
1 [mm] \le [/mm] 2 + an / 1+an [mm] \le [/mm] 2
1 + an [mm] \le [/mm] 2 + an [mm] \le [/mm] 2 + 2an
ausrdrücken. Aber wie gehts jetzt weiter? Man könnte dann -2 versuchen. Also
an -1 [mm] \le [/mm] an [mm] \le [/mm] 2an
Aber hätte man so gezeigt, dass das ganze stimmt?
Suinatas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 So 27.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Suinatas
Es ist nicht so klar, was du eigentlich fragst.
> 1 [mm]\le[/mm] 2 + an / 1+an [mm]\le[/mm] 2
das will man doch in a) zeigen
> 1 + an [mm]\le[/mm] 2 + an [mm]\le[/mm] 2 + 2an
erst wenn du die linke ungl. hast, kannst du die rechte beweisen, dann wenn an<0 stimmt sie ja nicht.
> ausrdrücken. Aber wie gehts jetzt weiter? Man könnte dann
> -2 versuchen. Also
das versteh ich nicht. wenn du schon hast 1<an warum dann noch -1<an und für pos an ist an<2an doch selbverständlich. kurz was fragst du? a) ist doch fertig!
> an -1 [mm]\le[/mm] an [mm]\le[/mm] 2an
>
> Aber hätte man so gezeigt, dass das ganze stimmt?
Welches "ganze"
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 So 27.11.2005 | | Autor: | wimath |
Vielen Dank für deine Antwort!
Aber wie berechne ich den Limes der Folge?
Kann ich den Limes durch follgende Gleichung berechnen (Limes [mm] a_{n} [/mm] =: x):
[mm] \bruch [/mm] {2+x}{1+x}=x ?? Dann kommt [mm] \pm \wurzel{2} [/mm] als Limes raus!
Da aber die Folgenglieder alle positiv sein sollen nach Definition der Folge ist es die [mm] \wurzel{2} [/mm] Q
Darf man allgemein den Grenzwert der Folgen durch solche Gleichungen berechnen, ist diese Methode also immer anwendbar??
Vielen Dank im Voraus!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 So 27.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo wimath
Ja, man kann falls der Grenzwert existiert ihn immer so berechnen. Überleg dir aber warum!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Mo 28.11.2005 | | Autor: | wimath |
Hallo leduart! Danke für die Antwort. Was ist aber mit der Folge
[mm] \bruch{(2-n)^2}{(2n^2)-2} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2
Sie konvergiert ja gegen 0,5. Wenn ich aber 0,5 in die Folge einsetze kommt da was anderes raus.... Ich bin jetzt völlig verwirrt...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Di 29.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]\bruch{(2-n)^2}{(2n^2)-2}[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 2
Dies ist ja keine rekursive Folge, d.h. du kannst gar icht für an und an+1 einsetzen. und natürlich kommt wenn du für n 0.5 einsetzest Unsinn raus!
Also [mm] a_{n+1}=a_{n}=a [/mm] , falls a existiert! nur für rek. def. Folgen.
Wenn du dir überlegt hättest, warum das oben richtig ist, würdest du nicht fragen!
Gruss leduart
|
|
|
|
