Cauchyfolge, X vollständig < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:16 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Zorba |
| Aufgabe | Sei [mm] I={x_{1},...,x_{m}} [/mm] und X= [mm] \{f: I\to \IR \}
[/mm]
Zeige:
X ist ein Hilbertraum mit dem Skalarprodukt [mm] (f,g)=\summe_{i=1}^{m}f(x_{i})g(x_{i}) [/mm] |
Ich habe mir eine Cauchyfolge definiert, komme aber nicht weiter, da mir nicht wirklich klar ist, wie ich zeigen kann, dass hier jede Cauchyfolge konvergiert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:55 Mo 14.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
mach dir klar, dass mit [mm] $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ [/mm] in $X$ auch [mm] $(f_n(x_i))_{n \in \mathbb{N}}$ [/mm] für jedes $i [mm] \in \{1, ..., m\}$ [/mm] in [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] ein cauchy-folge ist. ihr wisst vermutlich schon, dass [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] vollständig ist, damit existiert [mm] $\lim_{n \to \infty} f_n(x_i) \in \mathbb{R}$. [/mm] probiere nun zu zeigen, dass [mm] $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ [/mm] gegen $f [mm] \in [/mm] X$ mit [mm] $f(x_i) [/mm] := [mm] \lim_{n \to \infty} f_n(x_i)$ [/mm] konvergiert. übrigens gilt $X [mm] \cong \mathbb{R}^m$.
[/mm]
grüße
andreas
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 02:00 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Zorba |
Danke erstmal für deine Erklärung, ich denke du hast Recht, aber ist folgendes nicht offensichtlich? :
> ... dass [mm](f_n)_{n \in \mathbb{N}}[/mm] gegen [mm]f \in X[/mm] mit
> [mm]f(x_i) := \lim_{n \to \infty} f_n(x_i)[/mm] konvergiert.
Oder wie kann man sowas zeigen? Mir ist schon klar, dass es so ist, aber wie schreibt man das korrekt auf? :
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:40 Mi 16.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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