Cauchyfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:54 Mi 16.11.2011 | | Autor: | anabiene |
| Aufgabe | heyy,
wir haben heute in der vorlesung cauchyfolgen durchgenommen. ich hab mir eine folge ausgedacht [mm] \left(a_n=\frac {1-n}{n^2+1}\right) [/mm] um das zu üben bin aber mitten auf dem weg hängen geblieben. |
[mm] \big|\frac {1-m}{m^2+1}-\frac {1-k}{k^2+1}\big| \Leftrightarrow \big|\frac {-(m-1)}{(m+1)(m-1)}-\frac {-(k-1)}{(k+1)(k-1)}\big| \Leftrightarrow \big|\frac {-1}{m+1}-\frac {-1}{k+1}\big| \Leftrightarrow [/mm]
[mm] \big|\frac {-k-1}{(m+1)(k+1)}-\frac {-m-1}{(m+1)(k+1)}\big| \Leftrightarrow \big| \frac {-k-1-(-m-1)}{(m+1)(k+1)}\big| \Leftrightarrow \big| \frac {m-k}{(m+1)(k+1)}\big| \Leftrightarrow \big| \frac {m}{(m+1)(k+1)}-\frac {k}{(m+1)(k+1)}\big|
[/mm]
wie geht es dann weiter?
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Hallo anabiene,
> wir haben heute in der vorlesung cauchyfolgen
> durchgenommen. ich hab mir eine folge ausgedacht
> [mm]\left(a_n=\frac {1-n}{n^2+1}\right)[/mm] um das zu üben bin
> aber mitten auf dem weg hängen geblieben.
> [mm] \big|\frac {1-m}{m^2+1}-\frac {1-k}{k^2+1}\big| \Leftrightarrow \big|\frac {-(m-1)}{(m+1)(m-1)}-\frac {-(k-1)}{(k+1)(k-1)}\big|
[/mm]
Das funktioniert leider nicht: [mm] m^2+1\neq(m+1)(m-1)=m^2-1.
[/mm]
Das Beispiel könnte etwas ungeschickt gewählt sein, um direkt gut abzuschätzen.
Ich zeige dir einen anderen Weg. Sei die Funktion f definiert durch
[mm] f(x):=\frac{1-x}{x^2+1}.
[/mm]
Diese Funktion f ist differenzierbar und es gilt für [mm] x\geq3
[/mm]
[mm] f'(x)=\frac{x^2-2x-1}{(x^2+1)^2}>0.
[/mm]
Auf [mm] [3,\infty) [/mm] ist f also monoton steigend und f<0.
Weiterhin gilt [mm] \lim_{x\to\infty}f(x)=0.
[/mm]
Damit folgt für [mm] m,k\geq [/mm] N [mm] (N\geq3):
[/mm]
[mm] \left|\frac {1-m}{m^2+1}-\frac {1-k}{k^2+1}\right|\leq\left|\frac {1-m}{m^2+1}\right|+\left|\frac {1-k}{k^2+1}\right|\leq 2\left|\frac {1-N}{N^2+1}\right|\to0, N\to\infty.
[/mm]
Damit folgt bereits, dass [mm] a_n [/mm] Cauchyfolge ist.
(Dieser Weg setzt möglicherweise etwas voraus, was du noch nicht in der Uni behandelt hast: Aber so kann man viele derartige Probleme angehen).
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Mi 16.11.2011 | | Autor: | anabiene |
hi Kamaleonti,
hab lieben dank für deine antwort! ich denke wenn ich das mehrmals durchgehe werde ich es verstehen ;)
lg Ana
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