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| Aufgabe | | Beweise: Jede Cauchyfolge ist beschränkt. |
Beliebige Folge [mm] (a_n)
[/mm]
[mm] \varepsilon=1
[/mm]
[mm] |a_n -a_m| [/mm] <1 für alle m,n [mm] \ge [/mm] N
Def der Cauchyfolge
Wende "Trick" an (gebe wert dazu und ziehe ihn wieder ab) Dreiecksungleichung
[mm] |a_n| [/mm] = [mm] |a_n -a_m [/mm] + [mm] a_m| \le |a_n -a_m| [/mm] + [mm] |a_m| [/mm] < 1 + [mm] |a_m|
[/mm]
NUN, weiter komme ich nicht. Ich versteh nicht genau, wie ich jetzt [mm] N_{max} [/mm] und [mm] N_{min} [/mm] sehe bzw. aufliste.!!
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Moin therestom,
Für eine Cauchyfolge [mm] (a_n) [/mm] gilt:
Es existiert [mm] N\in\IN: |a_n-a_m|<1 [/mm] für alle [mm] m,n\geq [/mm] N.
Nun gilt für [mm] n\geq [/mm] N (verwende deine Abschätzung)
[mm] |a_n|=|a_n-a_N+a_N|\leq|a_n-a_N|+|a_N|<1+|a_N|.
[/mm]
Damit gilt [mm] |a_n|\leq\max\{|a_1|,|a_2|,\ldots,|a_{N-1}|,1+|a_N|\} [/mm] für [mm] n\geq1.
[/mm]
LG
EDIT
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> $ [mm] |a_n|\leq\max\{a_1,a_2,\ldots,a_{N-1},1+|a_N|\} [/mm] $
Ist [mm] a_1,a_2 [/mm] auch eine obere schranke der Folge oder wie?
Oder wie ist dass zu verstehen?
Sind [mm] a_{N-1} und1+|a_N| [/mm] auch Folgenglieder oder nur grenzen?
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> > [mm]|a_n|\leq\max\{a_1,a_2,\ldots,a_{N-1},1+|a_N|\}[/mm]
> Ist [mm]a_1,a_2[/mm] auch eine obere schranke der Folge oder wie?
Nein, im allgemeinen nicht.
> Oder wie ist dass zu verstehen?
> Sind [mm]a_{N-1} und1+|a_N|[/mm] auch Folgenglieder oder nur grenzen?
Es geht hier doch nur um eine Abschätzung des Betrags aller Folgenglieder durch eine reelle Zahl c>0. Diese ist gegeben durch
[mm] c:=\max\{|a_1|,|a_2|,\ldots,|a_{N-1}|,1+|a_N|\}
[/mm]
LG
EDIT
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Was heißt aber der Ausdruck genau?
$ [mm] c:=\max\{a_1,a_2,\ldots,a_{N-1},1+|a_N|\} [/mm] $
SInd dass alles Grenzen oder ist nur [mm] ,1+|a_N| [/mm] eien Grenze?
Den Ausdruck an sich verstehe ich nicht ganz!Was er zu bedeuten hat!
Ich hoffe du verstehst meine Frage!!
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> Was heißt aber der Ausdruck genau?
> [mm]c:=\max\{|a_1|,|a_2|,\ldots,|a_{N-1}|,1+|a_N|\}[/mm]
Damit ist das maximale Element aus der Menge [mm] M=\{|a_1|,|a_2|,\ldots,|a_{N-1}|,1+|a_N|\} [/mm] gemeint...
Mir ist gerade aufgefallen, dass die von mir angegebene Menge nicht ganz richtig war: Es muss immer der Betrag genommen werden.
> SInd dass alles Grenzen oder ist nur [mm],1+|a_N|[/mm] eien
> Grenze?
Es ist nicht bekannt, welche der Zahlen aus der Menge M das Maximum ist. Deswegen muss man es so hinschreiben. Aber das Maximum ist eben nur eine Zahl aus der Menge. Und mit dieser Zahl lassen sich betragsmäßig alle Folgenglieder abschätzen.
LG
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achso!Gut
also [mm] |a_1| [/mm] bis |a__{N}-1 können obere Schranken der folge sein?
Beschränkt -> so muss es ja auch minimum geben.
wie muss ich da dann umformen? AUch mit Dreiecksungleichung?
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> achso!Gut
>
> Beschränkt -> so muss es ja auch minimum geben.
> wie muss ich da dann umformen? AUch mit Dreiecksungleichung?
Dadurch, dass die Abschätzung betragsmäßig erfolgt ist, ist eine Abschätzung nach unten schon gegeben.
Aus [mm] |a_n|\leq\max\{|a_1|,|a_2|,\ldots,|a_{N-1}|,1+|a_N|\} [/mm] folgt
[mm] a_n\geq-\max\{|a_1|,|a_2|,\ldots,|a_{N-1}|,1+|a_N|\}
[/mm]
LG
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aber bei mir im Skriptum steht
min [mm] \{|a_1|,...|a_{N-1}|,|a_N -1|\} [/mm] wie komme ich von dem dazu?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:54 Mi 09.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> aber bei mir im Skriptum steht
> min [mm]\{|a_1|,...|a_{N-1}|,|a_N -1|\}[/mm]
Da hat sich jemand gewaltig vertippt.
FRED
> wie komme ich von dem
> dazu?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:34 Mi 09.11.2011 | | Autor: | theresetom |
Nein ich habe mich nicht vertipp..!
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