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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:26 Fr 05.11.2010 | | Autor: | jacob17 |
Hallo zusammen,
Meine Frage:
Sei C°([0,1],IR) mit der durch [mm] d(f,g):=(\integral_{0}^{1}{(f(x)-g(x))^2 dx})^{1/2} [/mm] definierten Metrik gegeben. z.Z ist nun dass dieser Raum nicht vollständig ist.
Meine Idee:
Hierzu betrachte man eine stetige Funktionenfolge aus C°([0,1],IR) die z.B wäre
[mm] f_n(x)= \{0 x<\bruch{1}{2}-\bruch{1}{n} ; 1 für x>\bruch{1}{2}+\bruch{1}{n} und sonst \bruch{n}{2}x+\bruch{1}{2}-\bruch{n}{4}}
[/mm]
Ok nun möchte ich das in meine Abstandsfunktion einsetzen also [mm] d(f_m,f_n) [/mm] für zwei beliebige m,n berechnen. Jedoch weiß ich jetzt nicht wie man das macht da das ja abschnittsweise definierte Folgen von Funktionen sind. Hat jemand ne Idee? Könnt ihr mir auch verraten wie man abschnittsweise def. Funktionen richtig hinschreibt. Die Darstellung sieht nämlich schrecklich aus
jacob
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Huhu,
du brauchst keine gestückelten Funktionen.....
nimm mal [mm] $f_n(x) [/mm] = [mm] x^n$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Fr 05.11.2010 | | Autor: | jacob17 |
Man betrachtet also die Funktionenfolge [mm] f_n(x) [/mm] = [mm] x^n [/mm] die stetig ist somit Element des Metrischen Raumes [mm] C^o([0,1],IR) [/mm] jetzt muss man doch zeigen dass diese Funktionenfolge auch Cauchyfolge ist jedoch bzgl. der gegebenen Metrik, da diese ja in genau diesem Raum Cauchyfolge sein soll. Dann stellt sich nur noch die Frage gegen welche Funktion diese Folge bzgl. der gegebenen Metrik konvergiert oder?
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Huhu,
nein, die Folge konvergiert nicht, da es kein Element des Raumes gibt, wogegen sie konvergieren sollte, obwohl sie eine Cauchy-Folge ist (hast du das gezeigt)...... du sollst doch zeigen, dass der Raum NICHT vollständig ist.
Was heisst das denn?
Wogegen konvergiert die Folge [mm] f_n [/mm] denn überhaupt im Raum der Funktionen?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 So 07.11.2010 | | Autor: | jacob17 |
Um zu zeigen,dass der Raum nicht vollständig ist nimmt man sich doch eine Cauchyfolge in diesem Fall [mm] f_n(x) [/mm] = [mm] x^n [/mm] und zeigt dass deren Grenzwert bzgl. der gegebenen Metrik nicht im Raum der stetigen Funktionen liegt. Für die Funktionenfolgen [mm] f_n [/mm] gilt doch bzgl. der gegebenen Metrik [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(n) [mm] =\begin{cases} 0, & \mbox{für } x <1 \\ 1, & \mbox{für } x= 1 \end{cases} [/mm] Somit ist der Grenzwert nicht Element von [mm] C^o([0,1],IR) [/mm] und dieser metrische Raum ist somit unvollständig. Natürlich voraussgesetzt dass [mm] f_n [/mm] eine Cauchyfolge bzgl.gegebener Metrik ist. Würde hier wie folgt ansetzen
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig und wähle N ? (würde man erst am Schluss festsetzen) Seien [mm] m\ge [/mm] n > N beliebig dann gilt
[mm] d(f_n,f_m) [/mm] = " = [mm] [\bruch{1}{2n+1} [/mm] - [mm] \bruch{2}{n+m+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2m+1}]^{\bruch{1}{2}} [/mm] Nun ja hier weiß ich einfach nicht wie ich mit dem Hoch [mm] \bruch{1}{2} [/mm] umgehen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 So 07.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn [mm] 0
das ist also kein Problem
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 So 07.11.2010 | | Autor: | jacob17 |
Das heißt ich kann einfach den Abstand ins Quadrat genommen betrachten und dann folgern da [mm] d^2 [/mm] < [mm] \varepsilon^2 [/mm] ist dass auch d < [mm] \varepsilon. [/mm]
noch eine Frage wie zeigt man das am Besten?
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Huhu,
> noch eine Frage wie zeigt man das am Besten?
also mit Nullfolgen solltest du schon umgehen können.
Du kannst oBdA annehmen, dass [mm] $m\ge [/mm] n$
Damit kannst du deinen Kram ein bisschen nach oben Abschätzen und wirst feststellen, dass das ganze immer noch eine Nullfolge ist....
MFG,
Gono.
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