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| Aufgabe | | Zeige direkt (aus der Definition), dass [mm] (-1)^n [/mm] keine cauchyfolge ist. |
Hallo euch allen!
Hab leider nicht die geringste Idee, wie ich das angehen soll. Ich weiß zwar, dass ich ein Epsilon auswählen kann, hab aber keine Ahnung, wie ich das N bekomme und wie ich den Beweis überhaupt beginnen und durchführen soll. Ich weiß außerdem, dass konvergente Folgen Cauchyfolgen ist, aber das ist doch nicht immer so, weshalb ich leider nicht einfach sagen kann, dass die Folge aufgrung ihrer fehlenden Konvergenz keine Cauchyfolge ist.
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mit besten Grüßen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 Do 22.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] a_n [/mm] = $ [mm] (-1)^n [/mm] $
1. Mache Dir klar. dass gilt : für n [mm] \in \IN [/mm] ist [mm] $|a_n -a_{n+1}| [/mm] = 2$
2. Annahme: [mm] (a_n) [/mm] ist eine Cauchyfolge. Dann existiert zu [mm] \varepsilon [/mm] = 1 ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] $|a_n -a_{m}| [/mm] < 1$ für n,m > N.
Ist dann n>N und m = n+1, so folgt: [mm] $|a_n -a_{n+1}| [/mm] <1$,
im Widerspruch zu 1. Also ist [mm] (a_n) [/mm] keine Cauchyfolge.
FRED
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> 1. Mache Dir klar. dass gilt : für n [mm]\in \IN[/mm] ist [mm]|a_n -a_{n+1}| = 2[/mm]
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doch warum gilt das? wo kommt die zwei her?
> 2. Annahme: [mm](a_n)[/mm] ist eine Cauchyfolge. Dann existiert zu
> [mm]\varepsilon[/mm] = 1 ein N [mm]\in \IN[/mm] mit:
>
> [mm]|a_n -a_{m}| < 1[/mm] für n,m > N.
das ist mir klar
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> Ist dann n>N und m = n+1, so folgt: [mm]|a_n -a_{n+1}| <1[/mm],
warum ist m=n+1?
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> im Widerspruch zu 1. Also ist [mm](a_n)[/mm] keine Cauchyfolge.
> danke
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Hallo FräuleinM!
> > 1. Mache Dir klar. dass gilt : für n [mm]\in \IN[/mm] ist [mm]|a_n -a_{n+1}| = 2[/mm]
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> doch warum gilt das? wo kommt die zwei her?
Hier hat Fred stumpf berechnet:
[mm] $$\left| \ a_n-a_{n+1} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ (-1)^n-(-1)^{n+1} \ \right| [/mm] \ = \ ... \ = \ 2$$
> > Ist dann n>N und m = n+1, so folgt: [mm]|a_n -a_{n+1}| <1[/mm],
>
> warum ist m=n+1?
Das Kriterium gilt für beliebiges $m,n \ [mm] \ge [/mm] \ N$ . Hier wurde beliebig $m \ := \ n+1$ gewählt.
Gruß vom
Roadrunner
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> > > Ist dann n>N und m = n+1, so folgt: [mm]|a_n -a_{n+1}| <1[/mm],
>
> >
> > warum ist m=n+1?
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> Das Kriterium gilt für beliebiges [mm]m,n \ \ge \ N[/mm] . Hier
> wurde beliebig [mm]m \ := \ n+1[/mm] gewählt.
>
was heißt, es wurde beliebig gewählt? kann ich also auch [mm] m=n^2 [/mm] definieren? ich verstehe nicht, wo das herkommt. steht das in der definition?
danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Do 22.01.2009 | | Autor: | fred97 |
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> > > > Ist dann n>N und m = n+1, so folgt: [mm]|a_n -a_{n+1}| <1[/mm],
>
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> > >
> > > warum ist m=n+1?
> >
> > Das Kriterium gilt für beliebiges [mm]m,n \ \ge \ N[/mm] . Hier
> > wurde beliebig [mm]m \ := \ n+1[/mm] gewählt.
> >
> was heißt, es wurde beliebig gewählt? kann ich also auch
> [mm]m=n^2[/mm] definieren? ich verstehe nicht, wo das herkommt.
> steht das in der definition?
Pass acht:
wir haben doch
[mm] $|a_n -a_m| [/mm] <1$ für jedes m und n mit n,m >N.
Ist nun n>N und m=n+1, so ist m>N, also gilt
[mm] $|a_n -a_{n+1}| [/mm] <1$
Ist Dir das bis hierher klar ? Gut. Nun stellst Du die berechtigte Frage:
"warum wählt der Fred gerade m = n+1 ?"
Antwort: weil damit der Widerspruchsbeweis funktioniert !
Noch eine Frage: "wie kommt man auf so eine Wahl ?"
Die Antwort ist nicht so einfach. Es ist halt Erfahrung, welche man im Laufe des Mathematikstudiums und auch später angesammelt hat.
Grüße FRED
>
> danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Do 22.01.2009 | | Autor: | FraeuleinM |
ok, ich glaub, ich werde noch einige stunden über diese aufgabe nachgrübeln, aber sie ist mir um einiges klarer. vielen dank euch beiden!
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