Cauchy für Sterngebiete < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:56 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend alle zusammen!
Beim Beweis des Integralsatzes von Cauchy für Sterngebiete habe ich ein paar Fragen. Es ist wahrscheinlich sehr simpel, jedoch finde ich mich nicht zurecht...
Integralsatz von Cauchy für Stergebiete
Sei U ein Sterngebiet in [mm] \mathbb C [/mm], f: U [mm] \to \mathbb [/mm] C [/mm] holomorph. Dann gibt für jeden geschlossenen Weg [mm] \gamma [/mm] in U:
[mm] \integral_{\gamma} f(z) dz = 0 [/mm].
Für den Beweis wird ein das folgende Lemma und der folgende Satz benötigt:
Lemma :
Sei U offen in [mm] \mathbb C [/mm], [mm] \tringle [/mm] ein Dreieck in U.
Ist ]mm] f: U [mm] \to \mathbb [/mm] C [/mm] holomorph, so ist
[mm] \integral_{ \partial \triangle } f(z) dz = 0 [/mm].
Satz :
Sei U ein Sterngebiet in [mm] \mathbb C [/mm] mit Zentrum[mm] z_0 [/mm]. Sei [mm] f: U \to \mathbb C [/mm] stetig. Es gelte:
Ist [mm] \triangle [/mm] ein Dreieck, das ganz in U liegt, so ist
[mm] \integral_{ \partial \triangle } f(z) dz = 0 [/mm].
Definiert man dann
[mm] F(c) := \integral_{z_0}^c f(z) dz \ \forall z \in U [/mm] so ist F Stammfunktion von f.
Beweis des Integralsatzes von Cauchy:
Nach dem obigem Lemma und dem Satz besitzt f eine Stammfunktion. Und somit gilt für jeden geschlossenen Weg in U :[mm] \integral_{\gamma} f(z) dz = 0 [/mm].
Dies ist der ganze Beweis. Das was ich nicht genau eingrenzen kann, ist wo genau das Lemma und wo genau der Satz im Beweis einsetzt... Könnte mir jemand vielleicht dies ein wenig genauer erläutern?
Wäre sehr nett!
Vielen Dank schon mal!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:18 Mo 11.08.2008 | | Autor: | fred97 |
Da f holomorph auf U ist, folgt aus dem Lemma : $ [mm] \integral_{ \partial \triangle } [/mm] f(z) dz = 0 $ für jedes Dreieck.....
Damit sind die Vor. des Satzes erfüllt. F f besitzt also eine Stammfunktion
FRED
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