Cauchy Produkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 So 03.12.2006 | | Autor: | Dummy86 |
| Aufgabe | | Man berechne ( [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm][mm] 2^{-n}[/mm][mm] )^{2} [/mm] als cauchy produkt. und welchen wert hat [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm][mm]n*2^{-n}[/mm]? |
ich komme nicht mehr weiter ich bin soweit gekommen :
( [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm][mm] 2^{-n}[/mm][mm] )^{2}
[/mm]
=[mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm][mm]\summe_{i=0}^{n}[/mm][mm]2^{-i}[/mm] [mm] 2^{-(n-i)}[/mm]
=[mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm][mm]\summe_{i=0}^{n}[/mm][mm]2^{-n}[/mm]
abhier weiß ich nicht mehr weiter
bei dem zweiten teil weiß ich auch noch nicht wie ich daran gehen soll
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Hallo,
> Man berechne ( [mm][mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm][/mm] [mm][mm]2^{-n}[/mm])^{2}[/mm] als cauchy produkt. und welchen wert hat [mm][mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm][/mm] [mm][mm]n*2^{-n}[/mm]?[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm] ich komme nicht mehr weiter ich bin soweit gekommen :[/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm] ( [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm][mm] 2^{-n}[/mm][mm] )^{2}[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm] =[mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm][mm]\summe_{i=0}^{n}[/mm][mm]2^{-i}[/mm] [mm]2^{-(n-i)}[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm] =[mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm][mm]\summe_{i=0}^{n}[/mm][mm]2^{-n}[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm]abhier weiß ich nicht mehr weiter[/mm][/mm][/mm][/mm]
Was hältst du denn davon?
[mm] \summe_{i=1}^{n}2^{-i}
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{2^{i}}
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{n}\bruch{1^{i}}{2^{i}}
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{n}(\bruch{1}{2})^{i}
[/mm]
Da 0,5<1 kann man die Formel für die geometrische Reihe anwenden.
Damit gilt dann
[mm] \summe_{i=1}^{n}(\bruch{1}{2})^{i}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{1-\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{1-\bruch{1}{2}}
[/mm]
=2
Jetzt musst du dein Cauchy-Produkt aber noch weiter ausrechnen! Das Gesamtergebnis ist 4.
> [mm][mm][mm][mm] bei dem zweiten teil weiß ich auch noch nicht wie ich daran gehen soll [/mm][/mm][/mm][/mm]
Mit dem Cauchyprodukt auseinanderziehen!
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 So 03.12.2006 | | Autor: | Dummy86 |
Danke für den Tipp, vollkommen klar alles aber wie kommst du auf 4
am ende steht da doch [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] 2 das ist doch nicht 4 oder hab ich jetzt nen brett vorm Kopf
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Hallo,
du hast leider beim Rechnen einen Fehler gemacht. Ich stimme überein bis
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}2^{-k}*2^{k-n}. [/mm] Dann geht es aber so weiter:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}2^{-k}*2^{k-n}
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}2^{-k}*\bruch{2^{k}}{2^{n}}
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2^{n}}\summe_{k=0}^{n}1
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n+1}{2^{n}}
[/mm]
Der Grenzwert dieser Reihe ist nun vier. Ist dir klar warum?
Viele Grüße
Daniel
PS: Vorher war aber auch klar, dass es vier sein muss. Meine Rechnung von vorher galte ja nur für einen Faktor. Du quadrierst ja die 2 noch, also auch 4. Du solltest es aber mit dem Cauchy-Produkt ausrechnen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 So 03.12.2006 | | Autor: | Dummy86 |
Mir sind deine Umformungen klar aber warum ist der grenzwert, dass kapier ich iwie nicht
gruß
Dummy86
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Hallo Dummy,
versuche die Reihe mal so umzuschreiben, dass du das Kritrium für die geometrische Reihe anwenden kannst. Ist ganz einfach!
Viele Grüße
Daniel
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