Cauchy Kriterium - Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Von den Folgen [mm]a_n = \bruch {1} {n}[/mm] und [mm]b_n = n[/mm] kenn wir bereits das Grenzverhalten für [mm]n \to \infty[/mm] .Machen Sie sich die Funktionsweise des Cauchy-Kriteriums anhand dieser beiden Folgen klar ,d.h. zeigen Sie
a) die Folge [mm]a_n[/mm] erfüllt das Cauchy Kriterium und
b) im Falle der Folge [mm]b_n[/mm] ist das Cauchy Kriterium verletzt. |
Hallo,
ich hab folgendes Problem wir haben heute in der Übung mit dem Cauchy-Kriterium begonnen und ich glaube das Grundprinzip verstanden zu haben.
Das Cauchy Prinzip wendet man an ,wenn man mit dem normalen Test auf Konvergenz also [mm] \left| a_n-g \right|< \epsilon [/mm] nicht weiterkommt ,da der Grenzwert nicht wirklich ersichtlich ist.
Man sucht also nach dem [mm] \epsilon [/mm] -Schlauch und für welches [mm] n_0 [/mm] alle nachfolgenden Funktionswerte innerhalb dieses Schlauches liegen ,denn damit wäre die Folge ja konvergent.
Ich hab auch ein bisschen im Forum rumgestöbert aber ich kann mir auf das abschätzen von [mm] \epsilon [/mm] und dem verändern des Bruchs keinen Reim machen.
Also ich vermute ,dass gilt [mm] \bruch {1}{\epsilon} [/mm] < n gilt.
Aber ich weis nicht wie ich mit dem Cauchy Kriterium drauf komme ausserdem weis ich auch nicht genau ,ob das die Aufgabenstellung fordert.
Für Denkanstösse wär ich sehr dankbar
(Ich entschuldige mich ,falls ich mich undeutlich und schlecht ausgedrückt habe.)
mfg
moffeltoff
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi Moffeltoff,
du weißt offenbar bereits, dass $ [mm] \frac{1}{n} \to [/mm] 0 $.
Das drücken wir aus durch $ [mm] \left | \dfrac{1}{n} - 0 \right [/mm] | = [mm] \left | \dfrac{1}{n} \right [/mm] | < [mm] \varepsilon/2 [/mm] $ für alle $ n > [mm] n_0(\varepsilon) [/mm] $ (Der Grund, wieso ich $ [mm] \varepsilon/2 [/mm] $ wähle, wird gleich ersichtlich)
Auch das Cauchykriterium scheint Dir bekannt zu sein.
Also $ | [mm] a_n [/mm] - [mm] a_m [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] $ für alle $ n,m > [mm] n_0(\varepsilon) [/mm] $
Es ist $ [mm] a_n [/mm] := [mm] \dfrac{1}{n} [/mm] $ und $ [mm] a_m [/mm] := [mm] \dfrac{1}{m} [/mm] $
Wegen $ [mm] a_n, a_m \to [/mm] 0 $ und der Dreiecksungleichung gilt
$ [mm] \left | \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{m} \right [/mm] | [mm] \le \underbrace{ \left| \dfrac{1}{n} \right|}_{<\varepsilon/2} [/mm] + [mm] \underbrace{ \left| \dfrac{1}{m} \right|}_{<\varepsilon/2} [/mm] < [mm] \varepsilon/2 [/mm] + [mm] \varepsilon/2 [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] $ für alle $ n, m > n [mm] _0(\varepsilon) [/mm] $
Also erfüllt die Folge $ [mm] a_n [/mm] = [mm] \dfrac{1}{n} [/mm] $ das Cauchykriterium.
Teil b) überlass ich dir.
Grüße
ChopSuey
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Also erstmal vielen vielen Dank für die Hilfe und dann hab ich mir ein paar Gedanken gemacht und bin dann zu folgender Lösung für die b)gekommen:
Also wählt man [mm] \epsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] ist [mm] n_0= \bruch {1}{\epsilon} [/mm] => [mm] n_0>4 [/mm] also z.b. 5 .
Ich wähle jetzt m=n+1 und [mm] n=n_0+1 [/mm] also [mm] \left| (n_0+1)-(n_0 +1+1) \right|=1 [/mm] und damit ist die bedingung [mm] \left| a_n -a_m \right|< \epsilon [/mm] nicht mehr erfüllt ,also verletzt sie das Cauchykriterium.
Da is ja nur zeigen sollte ,dass das Cauchykriterium hier verletzt ist reicht ja (denke ich) ein konkretes Gegenbeispiel aus ,aber ich bin mir unsicher wie ich es elementar beweisen sollte.
Wenn ich statt m=n+1 einfach m=n+k gewählt hätte wäre ja nicht sicher gesagt ,dass [mm] \epsilon [/mm] kleiner ist ,als k oder?
Ich glaube so langsam komme ich auf den Trichter aber ich bin leider nicht so das Matheass wie ich gerne wäre daher wäre ich sehr dankbar wenn mich jemand auf meine Fehler hinweisen könnte.
mfg
moffeltoff
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:00 Mo 13.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Für [mm] a_n:=n [/mm] ist
[mm] $|a_{n+1}-a_n|=1$
[/mm]
Für jedes [mm] \varepsilon [/mm] >0 mit [mm] \varepsilon [/mm] <1 ist also die Cauchysche Bedingung nicht zu erfüllen.
FRED
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Im Finckenstein steht aber ,dass es im Allgemeinen nicht ausreichend ist $ [mm] |a_{n+1}-a_n|=1 [/mm] $ zu pruefen?
Waere meine Loesung denn nicht zulaessig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:37 Mo 13.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Im Finckenstein steht aber ,dass es im Allgemeinen nicht
> ausreichend ist [mm]|a_{n+1}-a_n|=1[/mm] zu pruefen?
Was im Finckenstein steht oder nicht weiß ich nicht und interessiert mich auch nicht die Bohne. Aber eines kann ich Dir sagen:
Wenn für eine Folge [mm] (a_n) [/mm] gilt: [mm]|a_{n+1}-a_n|=1[/mm] , so kann [mm] (a_n) [/mm] keine Cauchyfolge sein, denn wäre sie eine, so gäbe es zu [mm] \varepsilon=1/2 [/mm] ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm]|a_{m}-a_n|<1/2[/mm] für alle m,n [mm] \ge [/mm] N.
Damit hätte man
[mm]1=|a_{N+1}-a_N|<1/2[/mm]
Und das ist Quark
FRED
> Waere meine Loesung denn nicht zulaessig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 Mo 13.12.2010 | | Autor: | moffeltoff |
Alles klar jetzt hab ichs glaube ich gefressen vielen Dank fuer die Hilfe.
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