Cauchy Folgen und Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:34 Mo 21.01.2008 | | Autor: | JanJan |
| Aufgabe | Seien [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] und [mm] (b_{n})_{n \in \IN} [/mm] zwei reelle Cauchyfolgen. Beweisen Sie, dass dann auch [mm] (a_{n}b_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine Cauchyfolge ist.
(Hinweis: Zeigen und verwenden Sie, dass Cauchyfolgen beschränkt sind.) |
In der Vorlesung hatten wir schon die folgende Definition:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] m,n [mm] \ge [/mm] N [mm] (|x_{n}-x_{m}|< \varepsilon)
[/mm]
Eine Folge, die nach dieser Bedingung konvergiert heißt Cauchy-Folge.
Irgendwie scheint es mir zu leicht, als das es wahr sein könnte...
[mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] sind Cauchy-Folgen (CF) [mm] \gdw a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] konvergieren [mm] \gdw a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] haben einen Grenzwert (a und b).
Laut Rechengesetzen wäre der Grenzwert von [mm] c_{n}:=a_{n} \* b_{n} [/mm] : [mm] c=a\*b. [/mm] Da [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] konvergieren sind sie natürlich auch beschränkt, also gilt:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N : [mm] (|a_{n}-a|< \varepsilon) \wedge (|b_{n}-b|< \varepsilon). [/mm]
Also würde es doch auch ein N geben, so dass der Spaß für [mm] c_{n} [/mm] gilt oder? wäre dann damit nicht schon alles bewiesen?
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> Seien [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] und [mm](b_{n})_{n \in \IN}[/mm] zwei
> reelle Cauchyfolgen. Beweisen Sie, dass dann auch
> [mm](a_{n}b_{n})_{n \in \IN}[/mm] eine Cauchyfolge ist.
> (Hinweis: Zeigen und verwenden Sie, dass Cauchyfolgen
> beschränkt sind.)
> In der Vorlesung hatten wir schon die folgende Definition:
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN \forall[/mm] m,n [mm]\ge[/mm]
> N [mm](|x_{n}-x_{m}|< \varepsilon)[/mm]
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> Eine Folge, die nach dieser Bedingung konvergiert heißt
> Cauchy-Folge.
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> Irgendwie scheint es mir zu leicht, als das es wahr sein
> könnte...
>
> [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] sind Cauchy-Folgen (CF) [mm]\gdw a_{n}[/mm] und
> [mm]b_{n}[/mm] konvergieren [mm]\gdw a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] haben einen
> Grenzwert (a und b).
> Laut Rechengesetzen wäre der Grenzwert von [mm]c_{n}:=a_{n} \* b_{n}[/mm]
> : [mm]c=a\*b.[/mm] Da [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] konvergieren sind sie
> natürlich auch beschränkt, also gilt:
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN \forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N
> : [mm](|a_{n}-a|< \varepsilon) \wedge (|b_{n}-b|< \varepsilon).[/mm]
>
> Also würde es doch auch ein N geben, so dass der Spaß für
> [mm]c_{n}[/mm] gilt oder? wäre dann damit nicht schon alles
> bewiesen?
Wenn Du schon den uneleganten Weg des Ersetzens von blossen Cauchy-Folgen durch konvergente Folgen gehen möchtest, hättest Du wenigstens beweisen sollen, dass [mm] $a\cdot [/mm] b$ in der Tat der Grenzwert der Folge [mm] $(a_n\cdot b_n)_{n\in \IN}$ [/mm] ist.
Aber der Umweg über Konvergenz ist überhaupt nicht nötig. Beweise einfach direkt die Cauchy-Eigenschaft der Folge [mm] $(a_n \cdot b_n)_{n\in \IN}$. [/mm] Der Standardtrick, der dabei verwendet werden muss, besteht darin, ein gemisches Produkt, hier [mm] $a_n b_m$, [/mm] zu addieren und dann gleich wieder zu subtrahieren...:
[mm]|a_n\cdot b_n-a_m\cdot b_m|=|a_n(b_n-b_m)+(a_n-a_m)\cdot b_m|\leq |a_n|\cdot |b_n-b_m|+|a_n-a_m|\cdot |b_m|[/mm]
Nun musst Du also $N$ so wählen, dass die rechte Seite der obigen Ungleichung für alle [mm] $n,m\geq [/mm] N$ kleiner als ein vorgegebenes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ist. Du siehst auch, weshalb dazu die Beschränktheit von Cauchy-Folgen benötigt wird: nur so kannst Du die Grösse der Faktoren [mm] $|a_n|$ [/mm] und [mm] $|b_m|$ [/mm] geeignet beschränken.
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