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| Aufgabe | Sein [mm] q\in(0,1) [/mm] und [mm] a_n [/mm] eine reele Folge mit [mm] n\in\IN [/mm] mit der Eigenschaft:
[mm] |a_{n+2}-a_{n+1}|
Zeige Sie das [mm] a_n [/mm] eine Cauchy Folge ist. |
Liebe Community,
leider fehlt uns der Ansatz =(
Habt ihr vielleicht eine Idee?
lg
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Do 18.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
entsprechend dem Cauchy Kriterium must Du zeigen,
Zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] existiert ein [mm] n_0 [/mm] s.d. für alle [mm] n,m>n_0 [/mm] gilt [mm] |a_n-a_m|<\epsilon [/mm]
o.B.d.A. sei n>m Es gilt
[mm] |a_n-a_m|\le |a_n-a_{n-1}|+|a_{n-1}-a_{n-2}| [/mm] + ... + [mm] |a_{m+1}-a_{m}|
[/mm]
Jedes Summenglied hat die Form [mm] |x_{i+1}-x_i| [/mm] und es gilt [mm] |x_{i+1}-x_i|\le q^i*|x_1-x_0| [/mm] wegen der vorausgesetzten Eigenschaft.
Also gilt [mm] |a_n-a_m|\le (q^{n-1}+ [/mm] ... + [mm] q^m)*|x_1-x_0|=q^m*(q^{n-1-m}+ [/mm] ... [mm] q^2+q+1)*|x_1-x_0|\le \br{q^m}{1-q}*|x_1-x_0|
[/mm]
Wenn jetzt [mm] n_0 [/mm] gross genug gewählt wird ist [mm] \br{q^m}{1-q}*|x_1-x_0|<\epsilon [/mm] wegen q<1
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