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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Fr 14.05.2010 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: $\ [mm] \Vert\Vert [/mm] = [mm] \|v\| \|w\| \Leftrightarrow [/mm] v,w$ linear abhängig. |
Hallo,
die eine Richtung "$\ [mm] \Rightarrow [/mm] $":
Z.z. gilt $ [mm] \Vert\Vert [/mm] = [mm] \|v\| \|w\| \Leftrightarrow [/mm] v = [mm] \lambda [/mm] w $ mit $ [mm] \lambda \in \mathbb [/mm] R $ [mm] \\
[/mm]
"'$ [mm] \Rightarrow [/mm] $"' [mm] \\ [/mm]
(1) $ <v,w> = [mm] v_1w_1+...+v_nw_n [/mm] $ [mm] \\
[/mm]
(2) $ [mm] \Vert [/mm] v [mm] \Vert [/mm] = [mm] \sqrt{} [/mm] = [mm] \sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$\\
[/mm]
(3) $ [mm] <\lambda [/mm] w,w> = [mm] \lambda [/mm] \ $ [mm] \\
[/mm]
Sei $ v = [mm] \lambda [/mm] w [mm] \Leftrightarrow [/mm] \ <v,w>\ = \ [mm] <\lambda [/mm] w,w> [mm] $\\
[/mm]
Dann ist
$ [mm] \Vert [/mm] v [mm] \Vert [/mm] * [mm] \Vert [/mm] w [mm] \Vert [/mm] = [mm] \Vert \lambda [/mm] w [mm] \Vert [/mm] * [mm] \Vert [/mm] w [mm] \Vert [/mm] = [mm] |\lambda|*\Vert [/mm] w [mm] \Vert*\Vert [/mm] w [mm] \Vert\overbrace{=}^{(2)} |\lambda| \sqrt{< w ,w>} \sqrt{< w ,w>} \overbrace{=}^{(1)+(2)} |\lambda||w_1^2+...+w_n^2| [/mm] = [mm] |\lambda| [/mm] |<w,w>| = [mm] |\lambda [/mm] | [mm] \overbrace{=}^{(3)} [/mm] | [mm] <\lambda [/mm] w,w > | = | <v,w> | $
Das alles sieht nun nicht wirklich schön aus.
Auch wenn ich am Ende das Ergebnis erhalten habe, das ich wollte, bin ich irgendwie Skeptisch mit dem Ganzen.
Würde mich freuen, wenn mir jemand sagen kann, ob das alles in Ordnung ist und ich nur noch die Rückrichtung zeigen muss, oder ob da einiges korrigiert werden muss und wenn ja, würde ich mich über ein paar Tips freuen.
Grüße
ChopSuey
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Hallo!
> Zeigen Sie: [mm]\ \Vert\Vert = \|v\| \|w\| \Leftrightarrow v,w[/mm]
> linear abhängig.
> Hallo,
>
> die eine Richtung "[mm]\ \Rightarrow [/mm]":
>
> Z.z. gilt [mm]\Vert\Vert = \|v\| \|w\| \Leftrightarrow v = \lambda w[/mm]
> mit [mm]\lambda \in \mathbb R[/mm] [mm]\\[/mm]
>
> "'[mm] \Rightarrow [/mm]"' [mm]\\[/mm]
>
> (1) [mm] = v_1w_1+...+v_nw_n[/mm] [mm]\\[/mm]
>
> (2) [mm]\Vert v \Vert = \sqrt{} = \sqrt{v_1^2+...+v_n^2}[/mm][mm] \\[/mm]
>
> (3) [mm]<\lambda w,w> = \lambda \[/mm] [mm]\\[/mm]
>
> Sei [mm]v = \lambda w \Leftrightarrow \ \ = \ <\lambda w,w>[/mm][mm] \\[/mm]
Bist du dir sicher, dass du entsprechend deinem obigen "Zu Zeigen" gerade die Richtug [mm] \Rightarrow [/mm] und nicht die Richtung [mm] \Leftarrow [/mm] meinst? Sonst dürftest du so etwas natürlich nicht einfach annehmen.
> Dann ist
>
> [mm]\Vert v \Vert * \Vert w \Vert = \Vert \lambda w \Vert * \Vert w \Vert = |\lambda|*\Vert w \Vert*\Vert w \Vert\overbrace{=}^{(2)} |\lambda| \sqrt{< w ,w>} \sqrt{< w ,w>} \overbrace{=}^{(1)+(2)} |\lambda||w_1^2+...+w_n^2| = |\lambda| || = |\lambda | \overbrace{=}^{(3)} | <\lambda w,w > | = | |[/mm]
>
> Das alles sieht nun nicht wirklich schön aus.
Es ist aber okay.
Zweierlei gibt es zu bemerken: Auch wenn es sich gemäß Aufgabenstellung um das spezielle euklidische Skalarprodukt handeln sollte, so gilt die Aussage doch allgemein. Deswegen brauchst du kein einziges Mal die Form von <.,.> zu benutzen, sondern nur dessen Eigenschaften. So geht es zum Beispiel auch:
$|<v,w>| = [mm] |<\lambda*w,w>| [/mm] = [mm] |\lambda|*|| [/mm] = [mm] |\lambda|*||w||^{2} [/mm] = [mm] |\lambda|*||w||*||w|| [/mm] = [mm] ||\lambda*w||*||w|| [/mm] = ||v||*||w||$
Beim dritten Gleichheitszeichen wird dabei benutzt, dass die Norm vom Skalarprodukt wie üblich durch [mm] $||x||:=\sqrt{}$ [/mm] erzeugt wird, ansonsten jeweils die Linearitätseigenschaften.
Tipp zur Rückrichtung: Du musst dafür den gesamten Beweis der Ungleichung (ihr habt sie doch bewiesen?) rückwärts abspulen, mit [mm] $\lambda [/mm] = [mm] \not= [/mm] 0$ (Fallunterscheidung w = 0 --> Lineare Abhängigkeit) und [mm] $\mu [/mm] = -<v,w>$. Dann erhältst du am Ende:
[mm] $<\lambda*v [/mm] + [mm] \mu*w, \lambda*v [/mm] + [mm] \mu*w> [/mm] = 0$
Mit Eigenschaften des Skalarprodukts und der Tatsache [mm] \lambda\not= [/mm] 0 folgt die gewünschte lineare Abhängigkeit von v und w.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Fr 14.05.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Moin Stefan,
>
> Bist du dir sicher, dass du entsprechend deinem obigen "Zu
> Zeigen" gerade die Richtug [mm]\Rightarrow[/mm] und nicht die
> Richtung [mm]\Leftarrow[/mm] meinst? Sonst dürftest du so etwas
> natürlich nicht einfach annehmen.
>
Ne, stimmt schon. Das ist schon eher die "Rückrichtung". Ich weiß garnicht mehr, warum ich das von hinten aufgerollt hab'. Ich glaub, das schien mir zu Beginn eindeutiger.
> > Dann ist
> >
> > [mm]\Vert v \Vert * \Vert w \Vert = \Vert \lambda w \Vert * \Vert w \Vert = |\lambda|*\Vert w \Vert*\Vert w \Vert\overbrace{=}^{(2)} |\lambda| \sqrt{< w ,w>} \sqrt{< w ,w>} \overbrace{=}^{(1)+(2)} |\lambda||w_1^2+...+w_n^2| = |\lambda| || = |\lambda | \overbrace{=}^{(3)} | <\lambda w,w > | = | |[/mm]
>
> >
> > Das alles sieht nun nicht wirklich schön aus.
>
> Es ist aber okay.
> Zweierlei gibt es zu bemerken: Auch wenn es sich gemäß
> Aufgabenstellung um das spezielle euklidische Skalarprodukt
> handeln sollte, so gilt die Aussage doch allgemein.
> Deswegen brauchst du kein einziges Mal die Form von <.,.>
> zu benutzen, sondern nur dessen Eigenschaften. So geht es
> zum Beispiel auch:
>
> [mm]|| = |<\lambda*w,w>| = |\lambda|*|| = |\lambda|*||w||^{2} = |\lambda|*||w||*||w|| = ||\lambda*w||*||w|| = ||v||*||w||[/mm]
>
> Beim dritten Gleichheitszeichen wird dabei benutzt, dass
> die Norm vom Skalarprodukt wie üblich durch
> [mm]||x||:=\sqrt{}[/mm] erzeugt wird, ansonsten jeweils die
> Linearitätseigenschaften.
Alles klar. Danke
>
> Tipp zur Rückrichtung: Du musst dafür den gesamten Beweis
> der Ungleichung (ihr habt sie doch bewiesen?) rückwärts
> abspulen, mit [mm]\lambda = \not= 0[/mm] (Fallunterscheidung w
> = 0 --> Lineare Abhängigkeit) und [mm]\mu = -[/mm]. Dann
> erhältst du am Ende:
>
> [mm]<\lambda*v + \mu*w, \lambda*v + \mu*w> = 0[/mm]
>
> Mit Eigenschaften des Skalarprodukts und der Tatsache
> [mm]\lambda\not=[/mm] 0 folgt die gewünschte lineare Abhängigkeit
> von v und w.
Cool, vielen Dank für die Tips zur Rückrichtung.
>
> Grüße,
> Stefan
Dank dir für die Hilfe.
Grüße
ChopSuey
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