Cauchy-Schwarz im eukl. Raum < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Mo 16.02.2009 | | Autor: | suzan_7 |
Hallo,
ich arbeite gerade mein skript durch. da es nur eine mitschrift aus der vorlesung ist, ist alles sehr ungeordnet und oft auch voll mit lücken
(da es sehr schnell geht)
nun bin ich -mal wieder- bei einer rechnung/umformung angelangt der ich nicht folgen kann. vllt. könnt ihr mir weiterhelfen.
es geht um die Cauchy-Schwarz-Ungleichung im Euklidischen Raum.
[mm] |(u,v)|\le\parallel [/mm] u [mm] \parallel \parallell [/mm] v [mm] \parallel [/mm] für u,v ungleich 0
daraufhin folgern wir [mm] |(\bruch{u}{\parallel u \parallel} [/mm] , [mm] \bruch{v}{\parallel v \parallel})| \le [/mm] 1
wie komme ich zu dieser umformung, wann ich hier einfach dividieren und das ins skalarprodukt ziehen?? und warum ist das kleiner 1??
weiterhin setzen wir nun für 1 nun cos(a) ein und dann schließen wir, dass dies der winkel zwischen u und v ist.
das geht mir doch alles ein bisschen schnell und die begründungen fehlen mir.
könnt ihr mir die rechenschritte näher erläutern??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Mo 16.02.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
> ich arbeite gerade mein skript durch. da es nur eine
> mitschrift aus der vorlesung ist, ist alles sehr ungeordnet
> und oft auch voll mit lücken
> (da es sehr schnell geht)
> nun bin ich -mal wieder- bei einer rechnung/umformung
> angelangt der ich nicht folgen kann. vllt. könnt ihr mir
> weiterhelfen.
> es geht um die Cauchy-Schwarz-Ungleichung im Euklidischen
> Raum.
> [mm]|(u,v)|\le\parallel[/mm] u [mm]\parallel \parallell[/mm] v [mm]\parallel[/mm] für
> u,v ungleich 0
> daraufhin folgern wir [mm]|(\bruch{u}{\parallel u \parallel}[/mm] ,
> [mm]\bruch{v}{\parallel v \parallel})| \le[/mm] 1
> wie komme ich zu dieser umformung, wann ich hier einfach
> dividieren und das ins skalarprodukt ziehen?? und warum ist
> das kleiner 1??
Zunächst einmal darfst du einen reellen Faktor in das Skalarprodukt hinein- oder daraus herausziehen:
[mm] \lambda (u,v) = (\lambda u,v) = (u,\lambda v) [/mm]
Das ist eine der definierenden Eigenschaften des Skalarprodukts.
Diese Beziehung wird zweimal angewendet. Du dividierst deine Ausgangsgleichung durch die rechte Seite, dann bleibt rechts eine 1 stehen:
[mm] \bruch{1}{\|u\|} \bruch{1}{\|v\|} ( u,v ) \le 1 [/mm]
Dann ziehe ich den Faktor [mm] \bruch{1}{\|v\|} [/mm] in das Skalarprodukt:
[mm] \bruch{1}{\|u\|} \bruch{1}{\|v\|} ( u,v ) = \bruch{1}{\|u\|} (u,\bruch{1}{\|v\|}v) [/mm]
und dann den ersten Faktor:
[mm] = (\bruch{1}{\|u\|} u , \bruch{1}{\|v\|}v) [/mm]
und das ist immer noch [mm] $\le [/mm] 1$.
> weiterhin setzen wir nun für 1 nun cos(a) ein und dann
> schließen wir, dass dies der winkel zwischen u und v ist.
> das geht mir doch alles ein bisschen schnell und die
> begründungen fehlen mir.
> könnt ihr mir die rechenschritte näher erläutern??
Die beiden Vektoren spannen zwei Seiten eines Dreiecks auf. Daraus ergibt sich mit dem Cosinussatz der ebenen Geometrie, dass [mm] $(\bruch{1}{\|u\|} [/mm] u , [mm] \bruch{1}{\|v\|}v)$ [/mm] der Cosinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren ist. ![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") ![[]](/images/popup.gif) Winkelberechnung im euklidischen Raum
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Di 17.02.2009 | | Autor: | suzan_7 |
vielen dank für die hilfe.
du sagst, das geht aufgrund des kosinussatzes.
geht das auch irgendwie ohne. denn unser prof möchte, so wie ich es jetzt verstehe, genau mit der gleichung den kosinussatz beweisen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Di 17.02.2009 | | Autor: | SEcki |
> du sagst, das geht aufgrund des kosinussatzes.
> geht das auch irgendwie ohne. denn unser prof möchte, so
> wie ich es jetzt verstehe, genau mit der gleichung den
> kosinussatz beweisen.
Man muss irgendwie Winkel definieren - und mit obiger Gleichung kann man die Umkehrfunktion des Cosinus anwenden - und genau so den Winkel definieren.
SEcki
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