Cauchy-Schwarz-Ungleichung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo
Habe eine Frage zum Beweis der Cauchy-Schwarz-Ungleichung, also:
Sei S ein Halbskalarprodukt auf dem K-Vektorraum V (K Körper), x,y [mm] \in [/mm] V.
Dann gilt: |S(x,y)| [mm] \le \wurzel{S(x,x)}\wurzel{S(y,y)}
[/mm]
Im Beweis den ich dazu gelesen habe wird zunächst bewiesen, dass die Aussage gilt, wenn x,y K-linear abhängig sind.
Dann erst wird die Aussage für K-linear unabhängige x,y gezeigt. Dann gilt für alle k [mm] \in [/mm] K x+ky [mm] \not= [/mm] 0.
Im weiteren Beweis geht der Autor nur auf 2 spezielle k ein, nämlich k:=-(S(x,x)+1)/2S(y,x) und k:=-S(x,y)/S(y,y)
Meine Frage ist nun, wieso genügt es nur diese beiden k zu betrachten???
Hoffe die Frage ist einigermaßen verständlich ohne den ganzen Beweis anzuschreiben, also als Ansatz dient 0 [mm] \le [/mm] S(x+ky,x+ky) und dann die beiden k einsetzen.
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Di 19.08.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Peterchen07,
Du musst umgekehrt denken: Die Ungleichung 0 [mm] \le [/mm] S(x+ky,x+ky) gilt für alle k [mm] \in [/mm] K (weil S positiv semidefinit), also auch für die speziell gewählten k aus Deiner Frage. Und deshalb kann man sie einsetzen und wenn man weiterrechnet, kommt wunderbarerweise die Behauptung raus.
Gruß
Uli
|
|
|
|
