Cauchy-Produkt, Produktreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Fr 05.12.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Satz:
Sind die Reihen [mm] \sum_{k=0}^{\infty}a_k [/mm] und [mm] \sum_{k=0}^{\infty}b_k [/mm] absolut konvergent, so konvergiert jede ihrer Produktreihen absolut gegen das Produkt [mm] (\sum_{k=0}^{\infty} a_k)*(\sum_{k=0}^{\infty} b_k).
[/mm]
Satz von Mertens:
Sind [mm] \textstyle A=\sum_{k=0}^\infty a_k [/mm] und [mm] \textstyle B=\sum_{k=0}^\infty b_k [/mm] konvergente Reihen, wobei mindestens eine der beiden absolut konvergiert, so konvergiert das Cauchy-Produkt [mm] \textstyle \sum_{k=0}^\infty c_k, [/mm] wobei [mm] \textstyle c_k=\sum_{j=0}^k a_j b_{k-j} [/mm] ist, gegen AB. |
Hallo zusammen,
Meine Frage:
Gilt der erste Satz mit bedingter Konvergenz auch wenn nur eine der Reihen absolut konvergiert und die andere bedingt?
Also gilt:
Ist die Reihen [mm] \sum_{k=0}^{\infty}a_k [/mm] absolut konvergent und [mm] \sum_{k=0}^{\infty}a_k [/mm] bedingt konvergent, so konvergiert jede ihrer Produktreihen gegen das Produkt [mm] (\sum_{k=0}^{\infty} a_k)*(\sum_{k=0}^{\infty} b_k).
[/mm]
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 Fr 05.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Satz:
> Sind die Reihen [mm]\sum_{k=0}^{\infty}a_k[/mm] und
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty}a_k[/mm] absolut konvergent, so konvergiert
> jede ihrer Produktreihen absolut gegen das Produkt
> [mm](\sum_{k=0}^{\infty} a_k)*(\sum_{k=0}^{\infty} b_k).[/mm]
>
> Satz von Mertens:
> Sind [mm]\textstyle A=\sum_{k=0}^\infty a_k[/mm] und [mm]\textstyle B=\sum_{k=0}^\infty b_k[/mm]
> konvergente Reihen, wobei mindestens eine der beiden
> absolut konvergiert, so konvergiert das Cauchy-Produkt
> [mm]\textstyle \sum_{k=0}^\infty c_k,[/mm] wobei [mm]\textstyle c_k=\sum_{j=0}^k a_j b_{k-j}[/mm]
> ist, gegen AB.
> Hallo zusammen,
>
> Meine Frage:
> Gilt der erste Satz mit bedingter Konvergenz auch wenn
> nur eine der Reihen absolut konvergiert und die andere
> bedingt?
Ist nur eine der Reihen absolut konvergent und die andere nur konvergent, so konvergiert ihr Cauchyprodukt. Im allgemeinen wird das Cauchyprodukt nicht absolut konvergieren.
FRED
>
> Also gilt:
> Ist die Reihen [mm]\sum_{k=0}^{\infty}a_k[/mm] absolut konvergent
> und [mm]\sum_{k=0}^{\infty}a_k[/mm] bedingt konvergent, so
> konvergiert jede ihrer Produktreihen gegen das Produkt
> [mm](\sum_{k=0}^{\infty} a_k)*(\sum_{k=0}^{\infty} b_k).[/mm]
>
> LG,
> sissi
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:14 Fr 05.12.2014 | | Autor: | sissile |
> Ist nur eine der Reihen absolut konvergent und die andere
> nur konvergent, so konvergiert ihr Cauchyprodukt. Im
> allgemeinen wird das Cauchyprodukt nicht absolut
> konvergieren.
>
> FRED
Hallo Fred,
Danke für die Antwort, aber das war doch überhaupt nicht meine Frage. Es geht um alle Produktreihen nicht nur die spezielle des Cauchy-Produktes.(-> Heuser)
Frage bleibt, obt der Satz gilt:
> Ist die Reihen $ [mm] \sum_{k=0}^{\infty}a_k [/mm] $ absolut konvergent
> und $ [mm] \sum_{k=0}^{\infty}a_k [/mm] $ bedingt konvergent, so
> konvergiert jede ihrer Produktreihen gegen das Produkt
> $ [mm] (\sum_{k=0}^{\infty} a_k)\cdot{}(\sum_{k=0}^{\infty} b_k). [/mm] $
Heuser:
" Wir wenden uns nun der Multiplikation unendlicher Reihen zu. Hat man die Summe [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] + .. [mm] a_m [/mm] mit der Summe [mm] b_0 +b_1 +..+b_n [/mm] zu multiplizieren, so verfährt man folgendermaßen: Man multipliziert jedes Glied der ersten mit jedem Glied der zweiten Summe - bildet also alle Produkte [mm] a_j b_k, [/mm] - ordnet diese Produkte in belieber Weise zu einer endlichen Folge [mm] p_0,..,p_s [/mm] an und bildet dann [mm] p_0 +..+p_s. [/mm] Dieses Verfahren läßt sich nicht ohne Vorsichtsmaßnahmen auf die Multiplikation zweier konvergenter Reihen [mm] a_0+a_1+.., b_0+b_1+... [/mm] übertragen. Selbstverständlich kann man alle Produkte [mm] a_j b_k [/mm] bilden und kann diese auch zu einer Folge [mm] p_0,p_1,p_2,.. [/mm] anordnen und somit eine sogenannte PRODUKTREIHE [mm] p_0+p_1+p_2+.. [/mm] bilden - etwas indem man auf das Scheme das Cauchysche Diagonalverfahren anwendet..."
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 So 07.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:55 So 07.12.2014 | | Autor: | sissile |
Keiner eine Idee ob der Satz stimmt? Oder ist etwas unklar, an meiner Formulierung?
LG,
sissi
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