Cauchy-Produkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 So 04.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
| Aufgabe | Berechne das Cauchy Produkt von:
[mm] a_k=\summe_{k=0}^{\infty}x^k
[/mm]
und
[mm] b_k=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^kx^k [/mm] |
Hallo!
Ich poste mal meinen Rechenweg:
[mm] (\summe_{k=0}^{\infty}x^k) \cdot (\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^kx^k)=\summe_{k=0}^{\infty} \cdot (\summe_{n=0}^{k}c_n) \cdot x^k [/mm] wobei [mm] c_n:=1^n \cdot (-1)^{k-n}
[/mm]
[mm] c_n=(-1)^{k-n} [/mm]
Ist das bis hierhin richtig?
Jetzt weiß ich nicht weiter. Kann mir jemand erklären, wie ich hier weitermachen muss?
Gruß Hans
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 So 04.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
Ich wollte die Frage eigentlich im Matheforum posten.
Könnte bitte einer der Moderatoren die Frage dort hin schieben?
Gruß Hans
|
|
|
| |
|
Hallo Hans80,
> Berechne das Cauchy Produkt von:
>
> [mm]a_k=\summe_{k=0}^{\infty}x^k[/mm]
>
> und
>
>
> [mm]b_k=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^kx^k[/mm]
>
> Hallo!
>
> Ich poste mal meinen Rechenweg:
>
> [mm](\summe_{k=0}^{\infty}x^k) \cdot (\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^kx^k)=\summe_{k=0}^{\infty} \cdot (\summe_{n=0}^{k}c_n) \cdot x^k[/mm]
> wobei [mm]c_n:=1^n \cdot (-1)^{k-n}[/mm]
>
> [mm]c_n=(-1)^{k-n}[/mm]
>
> Ist das bis hierhin richtig?
Ja, das ist bis hierhin richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt weiß ich nicht weiter. Kann mir jemand erklären,
> wie ich hier weitermachen muss?
>
Jetzt kannst Du Dir die Summe der [mm]c_{n}[/mm]'s berechnen,
und damit die Doppelsumme vereinfachen.
> Gruß Hans
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 So 04.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
> > Hallo!
> >
> > Ich poste mal meinen Rechenweg:
> >
> > [mm](\summe_{k=0}^{\infty}x^k) \cdot (\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^kx^k)=\summe_{k=0}^{\infty} \cdot (\summe_{n=0}^{k}c_n) \cdot x^k[/mm]
> > wobei [mm]c_n:=1^n \cdot (-1)^{k-n}[/mm]
> >
> > [mm]c_n=(-1)^{k-n}[/mm]
> Jetzt kannst Du Dir die Summe der [mm]c_{n}[/mm]'s berechnen,
> und damit die Doppelsumme vereinfachen.
Ok.
Habe ich dann:
[mm] (\summe_{n=0}^{k}(-1)^{k-n})=\begin{cases} 1, & \mbox{für } k-n \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } k-n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
?
Gruß Hans
|
|
|
| |
|
Hallo Hans80,
> > > Hallo!
> > >
> > > Ich poste mal meinen Rechenweg:
> > >
> > > [mm](\summe_{k=0}^{\infty}x^k) \cdot (\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^kx^k)=\summe_{k=0}^{\infty} \cdot (\summe_{n=0}^{k}c_n) \cdot x^k[/mm]
> > > wobei [mm]c_n:=1^n \cdot (-1)^{k-n}[/mm]
> > >
> > > [mm]c_n=(-1)^{k-n}[/mm]
>
> > Jetzt kannst Du Dir die Summe der [mm]c_{n}[/mm]'s berechnen,
> > und damit die Doppelsumme vereinfachen.
>
> Ok.
>
> Habe ich dann:
>
> [mm](\summe_{n=0}^{k}(-1)^{k-n})=\begin{cases} 1, & \mbox{für } k-n \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } k-n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
Hier muss doch nur k stehen:
[mm](\summe_{n=0}^{k}(-1)^{k-n})=\begin{cases} 1, & \mbox{für } \blue{k} \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } \blue{k} \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
> ?
>
> Gruß Hans
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 So 04.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
> Hallo Hans80,
>
> > > > Hallo!
> > > >
> > > > Ich poste mal meinen Rechenweg:
> > > >
> > > > [mm](\summe_{k=0}^{\infty}x^k) \cdot (\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^kx^k)=\summe_{k=0}^{\infty} \cdot (\summe_{n=0}^{k}c_n) \cdot x^k[/mm]
> > > > wobei [mm]c_n:=1^n \cdot (-1)^{k-n}[/mm]
> > > >
> > > > [mm]c_n=(-1)^{k-n}[/mm]
> >
> > > Jetzt kannst Du Dir die Summe der [mm]c_{n}[/mm]'s berechnen,
> > > und damit die Doppelsumme vereinfachen.
> >
> > Ok.
> >
> > Habe ich dann:
> >
> > [mm](\summe_{n=0}^{k}(-1)^{k-n})=\begin{cases} 1, & \mbox{für } k-n \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } k-n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> >
>
>
> Hier muss doch nur k stehen:
>
> [mm](\summe_{n=0}^{k}(-1)^{k-n})=\begin{cases} 1, & \mbox{für } \blue{k} \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } \blue{k} \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
Ah, ok, danke.
Könnte ich die Summe auch so schreiben:
[mm] (-1)^k \cdot (\summe_{n=0}^{k} \bruch{1}{(-1)^{n}})=\begin{cases} 1, & \mbox{für } \blue{k} \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } \blue{k} \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
So ist es glaube ich einfacher zu sehen (zumindest für mich :)).
Wie gehts jetzt weiter?
Ich weiß jetzt also, dass meine Koeffizienten vor meinen [mm] x^k [/mm] immer "1" sind, wenn k gerade ist und null, wenn k ungerade.
Daraus folgere ich, dass nur geradzahlige Exponenten der Potenzreihe existieren.
Stimmt das?
Wenn ja, dann müsste das ja so aussehen?
[mm] (\summe_{k=0}^{\infty}x^k) \cdot (\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^kx^k)=\summe_{k=0}^{\infty} \cdot (\summe_{n=0}^{k}c_n) \cdot x^k=\summe_{k=0}^{\infty} \cdot x^{\red{2k}}=1+x^2+x^4+...+
[/mm]
?
Gruß Hans
|
|
|
| |
|
Hallo Hans80,
> > Hallo Hans80,
> >
> > > > > Hallo!
> > > > >
> > > > > Ich poste mal meinen Rechenweg:
> > > > >
> > > > > [mm](\summe_{k=0}^{\infty}x^k) \cdot (\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^kx^k)=\summe_{k=0}^{\infty} \cdot (\summe_{n=0}^{k}c_n) \cdot x^k[/mm]
> > > > > wobei [mm]c_n:=1^n \cdot (-1)^{k-n}[/mm]
> > > > >
> > > > > [mm]c_n=(-1)^{k-n}[/mm]
> > >
> > > > Jetzt kannst Du Dir die Summe der [mm]c_{n}[/mm]'s berechnen,
> > > > und damit die Doppelsumme vereinfachen.
> > >
> > > Ok.
> > >
> > > Habe ich dann:
> > >
> > > [mm](\summe_{n=0}^{k}(-1)^{k-n})=\begin{cases} 1, & \mbox{für } k-n \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } k-n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> >
> >
> > Hier muss doch nur k stehen:
> >
> > [mm](\summe_{n=0}^{k}(-1)^{k-n})=\begin{cases} 1, & \mbox{für } \blue{k} \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } \blue{k} \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
>
> Ah, ok, danke.
>
> Könnte ich die Summe auch so schreiben:
>
> [mm](-1)^k \cdot (\summe_{n=0}^{k} \bruch{1}{(-1)^{n}})=\begin{cases} 1, & \mbox{für } \blue{k} \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } \blue{k} \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> So ist es glaube ich einfacher zu sehen (zumindest für
> mich :)).
>
>
> Wie gehts jetzt weiter?
>
> Ich weiß jetzt also, dass meine Koeffizienten vor meinen
> [mm]x^k[/mm] immer "1" sind, wenn k gerade ist und null, wenn k
> ungerade.
> Daraus folgere ich, dass nur geradzahlige Exponenten der
> Potenzreihe existieren.
> Stimmt das?
> Wenn ja, dann müsste das ja so aussehen?
>
> [mm](\summe_{k=0}^{\infty}x^k) \cdot (\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^kx^k)=\summe_{k=0}^{\infty} \cdot (\summe_{n=0}^{k}c_n) \cdot x^k=\summe_{k=0}^{\infty} \cdot x^{\red{2k}}=1+x^2+x^4+...+[/mm]
>
> ?
>
Ja.
> Gruß Hans
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 So 04.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
Vielen Dank Mathepower für die Hilfe!
Gruß Hans
|
|
|
|
