Cauchy-Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 So 09.09.2012 | | Autor: | Axiom96 |
| Aufgabe | | Seien [mm] \{a_n\} [/mm] und [mm] \{b_n\} [/mm] Cauchy-Folgen in einem beliebigen geordneten Körper [mm] \IK. [/mm] Man zeige: [mm] \{a_n*b_n\} [/mm] ist Cauchy-Folge in [mm] \IK. [/mm] |
Hallo,
kann ich das auch zeigen, ohne zuvor zu beweisen, dass [mm] \{a_n*b_n\} [/mm] beschränkt ist?
Viele Grüße
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Hallo Axiom96,
> Seien [mm]\{a_n\}[/mm] und [mm]\{b_n\}[/mm] Cauchy-Folgen in einem beliebigen
> geordneten Körper [mm]\IK.[/mm] Man zeige: [mm]\{a_n*b_n\}[/mm] ist
> Cauchy-Folge in [mm]\IK.[/mm]
> Hallo,
>
> kann ich das auch zeigen, ohne zuvor zu beweisen, dass
> [mm]\{a_n*b_n\}[/mm] beschränkt ist?
Jo, du brauchst nur die Dreiecksungleichung und dass [mm]\{a_n\},\{b_n\}[/mm] als Cauchyfolgen beschränkt sind ...
Wobei doch ersichtlich ist, dass das Produkt zweier beshränkter Folgen wieder beschränkt ist. Das kannst du als kleine Übung ja mal zeigen - ist ein Zweizeiler (oder Einzeiler, wenn du klein schreibst  )
>
> Viele Grüße
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Mo 10.09.2012 | | Autor: | Axiom96 |
| Aufgabe | Es seien [mm] \{a_n\} [/mm] und [mm] \{b_n\} [/mm] Cauchy-Folgen in einem geordneten Körper [mm] \IK. [/mm] Man zeige:
Falls ein positives [mm] \delta\in\IK [/mm] und [mm] N\in\IN [/mm] existieren mit [mm] |b_n|\ge\delta [/mm] für alle $ n>N $, ist [mm] \{c_n\} [/mm] mit [mm] c_n=\begin{cases} \frac{a_n}{b_n} & \mbox{falls } b_n\not=0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } b_n=0 \mbox{} \end{cases} [/mm] Cauchy-Folge. |
Hallo,
zunächst einmal die kurze Frage, ob [mm] \{c_n\} [/mm] mit [mm] c_n=\begin{cases} \frac{a_n}{b_n} & \mbox{falls } b_n\not=0 \mbox{ } \\ r, & \mbox{falls } b_n=0 \mbox{} \end{cases}, [/mm] $r$ beliebig aber fest, auch Cauchy-Folge wäre?
Zu der Aufgabe: Da bereits bewiesen ist, dass [mm] \{a_n*b_n\} [/mm] Cauchy-Folge ist, reicht es zu zeigen, dass die Aussage für [mm] \{a_n\} [/mm] mit [mm] a_n=1 [/mm] für alle $n$ gilt. Ich muss also zeigen, dass [mm] \exists{N_\varepsilon}\in\IN:\forall{n,m}>N_\varepsilon:\forall\varepsilon>0:|b_n-b_m|<\varepsilon\Rightarrow\exists{N_\varepsilon}\in\IN:\forall{n,m}>N_\varepsilon:\forall\varepsilon>0:|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b_m}|<\varepsilon [/mm] gilt.
Da hätte ich folgende Fragen:
1. Stimmt diese Vermutung?
2. Ist sie zielführend?
3. Wie kann ich sie beweisen (Ansatz)?
4. Habe ich sie formal richtig aufgeschrieben (Falls nicht, hoffe ich, dass erkennbar ist, was ich meine)?
Vielen Dank für Hilfestellungen schon einmal im Vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:10 Mo 10.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Axiom96,
> Es seien [mm]\{a_n\}[/mm] und [mm]\{b_n\}[/mm] Cauchy-Folgen in einem
> geordneten Körper [mm]\IK.[/mm] Man zeige:
>
> Falls ein positives [mm]\delta\in\IK[/mm] und [mm]N\in\IN[/mm] existieren mit
> [mm]|b_n|\ge\delta[/mm] für alle [mm]n>N [/mm], ist [mm]\{c_n\}[/mm] mit
> [mm]c_n=\begin{cases} \frac{a_n}{b_n} & \mbox{falls } b_n\not=0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } b_n=0 \mbox{} \end{cases}[/mm]
> Cauchy-Folge.
> Hallo,
>
> zunächst einmal die kurze Frage, ob [mm]\{c_n\}[/mm] mit
> [mm]c_n=\begin{cases} \frac{a_n}{b_n} & \mbox{falls } b_n\not=0 \mbox{ } \\ r, & \mbox{falls } b_n=0 \mbox{} \end{cases},[/mm]
> [mm]r[/mm] beliebig aber fest, auch Cauchy-Folge wäre?
Ja, wäre es. Aber dies brauchen wir nicht für den Beweis.
>
> Zu der Aufgabe: Da bereits bewiesen ist, dass [mm]\{a_n*b_n\}[/mm]
> Cauchy-Folge ist, reicht es zu zeigen, dass die Aussage
> für [mm]\{a_n\}[/mm] mit [mm]a_n=1[/mm] für alle [mm]n[/mm] gilt.
Richtig! Diese Zurückführung auf Bewiesenes spart Schreibarbeit! Und Lesearbeit! Danke!
>Ich muss also
> zeigen, dass
> [mm]\exists{N_\varepsilon}\in\IN:\forall{n,m}>N_\varepsilon:\forall\varepsilon>0:|b_n-b_m|<\varepsilon\Rightarrow\exists{N_\varepsilon}\in\IN:\forall{n,m}>N_\varepsilon:\forall\varepsilon>0:|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b_m}|<\varepsilon[/mm]
> gilt.
Wenn man aus dem Geschriebenen das Gemeinte herausarbeitet, stimmt das wohl.
Aber diese abkürzende Schreibweise mit Quantoren ist sehr fehlerträchtig. Ich würde darauf verzichten und stattdessen die Aussagen in deutsch formulieren.
Zunächst die Voraussetzungen:
(I) Die Folge [mm] $(b_n)$ [/mm] ist eine Cauchyfolge.
(II) Es gibt ein [mm] $\delta>0$ [/mm] und ein [mm] $N\in\IN$, [/mm] so daß [mm] $|b_n|>\delta$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$.
Und jetzt die Behauptung:
Die Folge [mm] $(c_n)$ [/mm] mit [mm] $c_n=1/b_n$ [/mm] falls [mm] $b_n\ne [/mm] 0$ und [mm] $c_n= [/mm] 0$ falls [mm] $b_n=0$ [/mm] ist eine Cauchyfolge.
Zum Beweis schätzen wir [mm] $|c_n-c_m|$ [/mm] für $n,m > N$ nach oben ab. Sei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$.
Es ist
[mm] $|c_n-c_m| [/mm] = [mm] \left|\frac 1 {b_n} - \frac 1 {b_m}\right|$ [/mm] (wegen (I) ist [mm] $b_n, b_m \ne [/mm] 0$)
$= [mm] \left|\frac {b_n-b_m} {b_n b_m}\right|$ [/mm] (auf den Hauptnenner bringen)
[mm] $\le |b_n-b_m|*\frac [/mm] 1 [mm] {\delta^2}$ [/mm] (wegen (I))
$< [mm] \epsilon$, [/mm] falls [mm] $|b_n-b_m| [/mm] < [mm] \delta^2*\epsilon$.
[/mm]
Wegen (II) gibt es ein [mm] $N'\in\IN$, [/mm] so daß für alle $m, n > N'$ die letzte Ungleichung erfüllt ist. Für alle $m, n [mm] >\max(N,N')$ [/mm] folgt
[mm] $|c_n-c_m| [/mm] < [mm] \epsilon$.
[/mm]
Damit erweist sich [mm] $(c_n)$ [/mm] als Cauchyfolge.
Übrigens, in Deiner Quantorenformulierung müßte das [mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0$ jeweils am Anfang stehen, so ergibt sich kein Sinn. Aber wie gesagt, ich würde darauf verzichten.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Fr 14.09.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Vielen Dank, ich habe übersehen, dass ich die Schreibweise mit dem Hauptnenner abschätzen kann, weil [mm] |b_n*b_m|\ge\frac{1}{\delta^2} [/mm] ist.
Eine Frage noch zur Formulierung:
Ist es üblich, diesen Satz mit Verwendung des [mm] \delta [/mm] zu formulieren, oder nimmt der Autor einem damit einfach schon den ersten Schritt bei der Überlegung für den Beweis ab?
Wäre also die folgende Formulierung auch richtig?
Es seien $ [mm] \{a_n\} [/mm] $ und $ [mm] \{b_n\} [/mm] $ Cauchy-Folgen in einem geordneten Körper $ [mm] \IK. [/mm] $ Falls $ [mm] |b_n|>0 [/mm] $ für alle $ n>N $ , ist $ [mm] \{c_n\} [/mm] $ mit $ [mm] c_n=\begin{cases} \frac{a_n}{b_n} & \mbox{falls } b_n\not=0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } b_n=0 \mbox{} \end{cases} [/mm] $ Cauchy-Folge.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Fr 14.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank, ich habe übersehen, dass ich die Schreibweise
> mit dem Hauptnenner abschätzen kann, weil
> [mm]|b_n*b_m|\ge\frac{1}{\delta^2}[/mm] ist.
>
> Eine Frage noch zur Formulierung:
>
> Ist es üblich, diesen Satz mit Verwendung des [mm]\delta[/mm] zu
> formulieren, oder nimmt der Autor einem damit einfach schon
> den ersten Schritt bei der Überlegung für den Beweis ab?
Nein, ohne diese Vor. mit dem [mm] \delta [/mm] geht die Sache in die Hose !
Siehe unten.
> Wäre also die folgende Formulierung auch richtig?
>
> Es seien [mm]\{a_n\}[/mm] und [mm]\{b_n\}[/mm] Cauchy-Folgen in einem
> geordneten Körper [mm]\IK.[/mm] Falls [mm]|b_n|>0[/mm] für alle [mm]n>N[/mm] , ist
> [mm]\{c_n\}[/mm] mit [mm]c_n=\begin{cases} \frac{a_n}{b_n} & \mbox{falls } b_n\not=0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } b_n=0 \mbox{} \end{cases}[/mm]
> Cauchy-Folge.
Nein, das ist nicht richtig. Nimm [mm] \IK= \IR [/mm] und [mm] a_n=1, b_n=1/n [/mm] (n [mm] \in \IN)
[/mm]
Dann ist zwar [mm] b_n>0 [/mm] für alle n, aber es gibt kein [mm] \delta>0 [/mm] und kein N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] |b_n| \ge \delta [/mm] für n>N.
Ist [mm] (c_n) [/mm] wie oben def. so ist hier [mm] c_n=n [/mm] für jedes n [mm] \in \IN. [/mm]
[mm] (c_n) [/mm] ist keine (!) Cauchyfolge in [mm] \IR [/mm] !
Das meinte ich mit "in die Hose gehen"
FRED
>
> Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:28 Fr 14.09.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Stimmt, vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Fr 14.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Axiom,
eine Anmerkung:
> [mm]\exists{N_\varepsilon}\in\IN:\forall{n,m}>N_\varepsilon:\forall\varepsilon>0:|b_n-b_m|<\varepsilon\Rightarrow\exists{N_\varepsilon}\in\IN:\forall{n,m}>N_\varepsilon:\forall\varepsilon>0:|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b_m}|<\varepsilon[/mm]
es ist sehr wichtig, sich (auch in Quantorenschreibweise) klar zu machen,
dass
[mm] $$\forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN$$
[/mm]
etwas komplett anderes ist als
[mm] $$\exists [/mm] N [mm] \in \IN: \forall \epsilon [/mm] > 0$$
Spätestens, wenn Du bei der glm. Stetigkeit angekommen bist, wirst
Du daran nicht vorbeikommen.
Die Notation
[mm] $$\forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN$$
[/mm]
beuetet
"Für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gibt es ein [mm] $N=N_\epsilon\,,$ [/mm] so dass..."
Das heißt, hier darf und wird i.a. das [mm] $N\,$ [/mm] in Abhängigkeit von [mm] $\epsilon$
[/mm]
stehen.
Die Notation
[mm] $$\exists [/mm] N [mm] \in \IN: \forall \epsilon [/mm] > 0$$
bedeutet
"Es gibt ein (universelles) [mm] $N\,$ [/mm] so, dass für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$..."
Hier habe ich schon sprachlich "angedeutet", dass hier das [mm] $N\,$ [/mm]
unabhängig von [mm] $\epsilon$ [/mm] sein (gefunden werden) muss!
Quantorenmäßig ist das ein minimaler Unterschied, sprachlich kaum
merkbar, die Bedeutung der Aussagen ist jedoch wohl zu unterscheiden!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Fr 14.09.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> Hallo Axiom,
>
> eine Anmerkung:
>
> >
> [mm]\exists{N_\varepsilon}\in\IN:\forall{n,m}>N_\varepsilon:\forall\varepsilon>0:|b_n-b_m|<\varepsilon\Rightarrow\exists{N_\varepsilon}\in\IN:\forall{n,m}>N_\varepsilon:\forall\varepsilon>0:|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b_m}|<\varepsilon[/mm]
>
> es ist sehr wichtig, sich (auch in Quantorenschreibweise)
> klar zu machen,
> dass
> [mm]\forall \epsilon > 0 \exists N \in \IN[/mm]
> etwas komplett
> anderes ist als
> [mm]\exists N \in \IN: \forall \epsilon > 0[/mm]
>
> Spätestens, wenn Du bei der glm. Stetigkeit angekommen
> bist, wirst
> Du daran nicht vorbeikommen.
>
> Die Notation
> [mm]\forall \epsilon > 0 \exists N \in \IN[/mm]
> beuetet
> "Für alle [mm]\epsilon > 0[/mm] gibt es ein [mm]N=N_\epsilon\,,[/mm] so
> dass..."
>
> Das heißt, hier darf und wird i.a. das [mm]N\,[/mm] in
> Abhängigkeit von [mm]\epsilon[/mm]
> stehen.
>
> Die Notation
> [mm]\exists N \in \IN: \forall \epsilon > 0[/mm]
> bedeutet
> "Es gibt ein (universelles) [mm]N\,[/mm] so, dass für alle
> [mm]\epsilon > 0[/mm]..."
>
> Hier habe ich schon sprachlich "angedeutet", dass hier das
> [mm]N\,[/mm]
> unabhängig von [mm]\epsilon[/mm] sein (gefunden werden) muss!
>
> Quantorenmäßig ist das ein minimaler Unterschied,
> sprachlich kaum
> merkbar, die Bedeutung der Aussagen ist jedoch wohl zu
> unterscheiden!
>
> Gruß,
> Marcel
Mit der Erläuterung jetzt ist der Unterschied klar, der mir vorher gar nicht in den Sinn gekommen ist. Ich denke, ich habe es verstanden (auch wenn ich das vorher auch schon gedacht habe ;) ), aber am besten bleibe ich wirklich erst einmal bei der Formulierung auf deutsch, wie sie auch in allen Büchern eingeführt wird.
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 Fr 14.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Axiom,
> > Hallo Axiom,
> >
> > eine Anmerkung:
> >
> > >
> >
> [mm]\exists{N_\varepsilon}\in\IN:\forall{n,m}>N_\varepsilon:\forall\varepsilon>0:|b_n-b_m|<\varepsilon\Rightarrow\exists{N_\varepsilon}\in\IN:\forall{n,m}>N_\varepsilon:\forall\varepsilon>0:|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b_m}|<\varepsilon[/mm]
> >
> > es ist sehr wichtig, sich (auch in Quantorenschreibweise)
> > klar zu machen,
> > dass
> > [mm]\forall \epsilon > 0 \exists N \in \IN[/mm]
> > etwas komplett
> > anderes ist als
> > [mm]\exists N \in \IN: \forall \epsilon > 0[/mm]
> >
> > Spätestens, wenn Du bei der glm. Stetigkeit angekommen
> > bist, wirst
> > Du daran nicht vorbeikommen.
> >
> > Die Notation
> > [mm]\forall \epsilon > 0 \exists N \in \IN[/mm]
> > beuetet
> > "Für alle [mm]\epsilon > 0[/mm] gibt es ein [mm]N=N_\epsilon\,,[/mm] so
> > dass..."
> >
> > Das heißt, hier darf und wird i.a. das [mm]N\,[/mm] in
> > Abhängigkeit von [mm]\epsilon[/mm]
> > stehen.
> >
> > Die Notation
> > [mm]\exists N \in \IN: \forall \epsilon > 0[/mm]
> > bedeutet
> > "Es gibt ein (universelles) [mm]N\,[/mm] so, dass für alle
> > [mm]\epsilon > 0[/mm]..."
> >
> > Hier habe ich schon sprachlich "angedeutet", dass hier das
> > [mm]N\,[/mm]
> > unabhängig von [mm]\epsilon[/mm] sein (gefunden werden) muss!
> >
> > Quantorenmäßig ist das ein minimaler Unterschied,
> > sprachlich kaum
> > merkbar, die Bedeutung der Aussagen ist jedoch wohl zu
> > unterscheiden!
> >
> > Gruß,
> > Marcel
> Mit der Erläuterung jetzt ist der Unterschied klar, der
> mir vorher gar nicht in den Sinn gekommen ist. Ich denke,
> ich habe es verstanden (auch wenn ich das vorher auch schon
> gedacht habe ;) ), aber am besten bleibe ich wirklich erst
> einmal bei der Formulierung auf deutsch, wie sie auch in
> allen Büchern eingeführt wird.
auch da ("in deutsch") ist natürlich die Reihenfolge wichtig. Man kann es
aber besser hervorheben, deswegen bevorzuge ich generell bei solchen
Aussagen auch diese Variante:
"Es gibt [mm] $N\,$ [/mm] passend für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ so, dass..."
Oder manche Autoren bevorzugen halt auch die eben angedeutete
Sprechweise "Es gibt ein universelles [mm] $N\,$ [/mm] für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ so..."
Gruß,
Marcel
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