Cauchy-Folge Beweis < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:30 Di 12.11.2013 | | Autor: | Lila_1 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Folge
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm]
eine Cauchy-Folge ist. Geben Sie dann für [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] 10^{-5} [/mm] eine ganze Zahl N an, sodass [mm] |a_{n}-a_{n+k}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für n [mm] \ge [/mm] N und k [mm] \ge [/mm] 1 ist. |
Kann mir jmd. einen Tipp geben wie ich zeigen kann, dass es eine Cauchy-Folge ist.
Ich weiß, dass die Folge gegen e konvergiert und soweit ich das richtig verstanden habe, sind Cauchy-Folgen, Folgen die gegen 0 konvergieren, also eine Nullfolge.
Aber das widerspricht sich ja, da die angegebene Folge gegen e konvergiert.
Oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:52 Di 12.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass die Folge
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm](1+\bruch{1}{n})^n[/mm]
> eine Cauchy-Folge ist. Geben Sie dann für [mm]\varepsilon[/mm] =
> [mm]10^{-5}[/mm] eine ganze Zahl N an, sodass [mm]|a_{n}-a_{n+k}|[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm] für n [mm]\ge[/mm] N und k [mm]\ge[/mm] 1 ist.
> Kann mir jmd. einen Tipp geben wie ich zeigen kann, dass
> es eine Cauchy-Folge ist.
>
> Ich weiß, dass die Folge gegen e konvergiert
Richtig.
> und soweit
> ich das richtig verstanden habe, sind Cauchy-Folgen, Folgen
> die gegen 0 konvergieren
Nein, das stimmt nicht.
Es gilt für eine Folge [mm] (a_n):
[/mm]
[mm] (a_n) [/mm] ist konvergent [mm] \gdw (a_n) [/mm] ist eine Cauchyfolge.
Hattet Ihr das ? Wenn ja, so bist Du fertig. Wenn nein: ist
$ [mm] a_{n} [/mm] $ = $ [mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] $ , so gilt:
[mm] |a_n-a_m|=|a_n-e+e-a_m| \le |a_n-e|+|a_m-e|
[/mm]
Hilft das ?
FRED
> , also eine Nullfolge.
> Aber das widerspricht sich ja, da die angegebene Folge
> gegen e konvergiert.
> Oder?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Di 12.11.2013 | | Autor: | Lila_1 |
Vielen Dank, dass hilft mir aufjedenfall weiter bei Teil 1
Aber wie mache ich den zweiten Teil?
Ich habe für [mm] a_{n} [/mm] jew. die Folge einsetzt
[mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] - [mm] (1+\bruch{1}{n+k})^{n+k} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
= [mm] (\bruch{n+1}{n})^n [/mm] - [mm] (\bruch{n+k+1}{n+k})^{n+k} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
dann würde ich nach n auflösen um N zu bestimmen.
Oder?
Wenn ja, wie löse ich nach n auf?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Di 12.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du den letzten post - von fred- denn wirklich gelesen? Warum hilft dir der Tip nicht, bzw. warum ignorierst du ihn?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 Di 12.11.2013 | | Autor: | Lila_1 |
Welcher letzter Post?
in dem letzten Post von Fred geht es doch nur um den Teil 1, also darum wie man zeigt, dass es eine Cauchy-Folge ist.
Oder?
Aber ich habe nach einem Tipp zu Teil 2 gefragt, wie ich N bestimmen muss.
Gruß
lila
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 Di 12.11.2013 | | Autor: | Lila_1 |
Außerdem hab ich mich doch bedankt und gesagt, dass es mir aufjedenfall weiterhilft. Also hab ich den Post von Fred doch gar nicht ignoriert, sondern nur nach einem Tipp zu Teil 2 gefragt.
Gruß
lila
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