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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Do 29.11.2007 | | Autor: | X-Metal |
| Aufgabe | Sei [mm] a_n [/mm] = [mm] (-1)^n \cdot \bruch{e^n}{4^n + 5}.
[/mm]
[mm] (a)_{n\in\IN} [/mm] ist eine Cauchy-Folge. |
Hallo,
ist der obige Ausdruck eine Caucjy-Folge. Ich bin mir da nicht sicher, ich soll nur sagen JA oder NEIN.
Ich denke, dass diese Folge beschränkt ist, aber sie ist nicht monoton. Und das ist ja auch der Haupsatz der Konvergenzkriterien.
Satz: Das erste Hauptkriterium besagt, dass eine monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge stets konvergent ist, wobei der Grenzwert kleiner gleich der oberen Schranke ist.
Ist sie damit noch eine Cauchy-Folge?? Ich denke nein, aber vielleicht irre ich mich ja auch bzgl. Monotonie und ob sie beschränkt ist. Ist die gegebene Folge doch konvergent??
Ich bitte um Eure Hilfe.
Gruss,
X-Metal
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> Sei [mm]a_n[/mm] = [mm](-1)^n \cdot \bruch{e^n}{4^n + 5}.[/mm]
> [mm](a)_{n\in\IN}[/mm]
> ist eine Cauchy-Folge.
Hallo,
monoton ist die Folge ja ganz sicher nicht, aber das ist ja auch keine Voraussetzung für Konvergenz.
Du kannst recht leicht zeigen, daß die absolut konvergiert.
Es ist 0< [mm] \bruch{e^n}{4^n + 5} [/mm] < [mm] \bruch{e^n}{4^n }=(\bruch{e}{4})^n,
[/mm]
und nun laß den Limes auf die Ungleichung los.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 Do 29.11.2007 | | Autor: | X-Metal |
Hallo Angela,
also laut Hauptsatz interpretiere ich es so, dass eine Folge monoton wachsend und nach oben beschränkt, oder monoton fallend und nach unten beschränkt sein muss. Das ist jedenfalls auch das, was bei Wiki drinsteht.
Wenn sie also nicht monoton ist, kann sie dann noch knvergent sein??
Gruss,
X-Metal
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> Hallo Angela,
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> also laut Hauptsatz interpretiere ich es so, dass eine
> Folge monoton wachsend und nach oben beschränkt, oder
> monoton fallend und nach unten beschränkt sein muss. Das
> ist jedenfalls auch das, was bei Wiki drinsteht.
>
> Wenn sie also nicht monoton ist, kann sie dann noch
> knvergent sein??
Ja, sie kann.
Du mußt bei dem Hauptsatz aufpassen.
Er sagt: wenn sie monoton und beschränkt ist, ist sie konvergent.
Er sagt nicht, daß das umgekehrte auch gilt, und es ist die Folge [mm] (-1)^n\bruch{1}{n} [/mm] ja auch ein Beipiel für eine Folge, welche offensichtlich konvergiert, aber nicht monoton ist.
Ohne Beschränktheit allerdings gibt's keine Konvergenz!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Do 29.11.2007 | | Autor: | X-Metal |
In Ordnung, dann passe ich auf.
Ich danke Dir Angela.
Gruss,
Olli
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