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| Aufgabe | In einem Casino wird folgendes Spiel gespielt:
- Der Einsatz pro Runde beträgt 5 €
- Im Falle eines Gewinns erhält der Spieler 10 € zurück
- Im Falle eines Verlustes geht der Spieler leer aus
Erwin beginnt das Spiel mit 15 € in der Tasche. Nach genau 25 Spielen geht ihm das Geld aus. Wieviele Möglichkeiten für Erwins Spielverlauf (d.h. Abfolgen von Gewinn und Verlust) gibt es? |
Hallo zusammen,
ich hänge bei der obigen Aufgabe fest. Meine Idee war es, diese Aufgabe mit Hilfe de Catalanzahlen zu lösen.
Da Erwin ja mit 15 € das Spiel beginnt und nach 25 Spielen bei 0 € ist, müssen am Ende drei Klammer "zu" sein, also: ))) (3x -5 €). ")" steht für die 5 € Verlust.
Am Anfang müssen daher auch drei Klammern stehen, damit der Ausdruck geschlossen wird, also: ((( (3x5 €). "(" steht also 5 € Gewinn. Dazwischen müssen ja dann noch 22 Klammern, also 11 Klammerpaare stehen, da die ersten 3 Klammern noch keine Spielzüge darstellen, die letzten 3 schon.
Ich habe also insgesamt 14 Klammerpaare und die Catalanzahl C_14=2674440
Ist meine Argumentation soweit richtig, irgendwie habe ich das Gefühl, dass ich was übersehen habe? Müssen meine ersten drei Paare nicht fest sein, also müsste ich C_11 +3 rechnen? Oder ist es eher ungünstig mit den Catalanzahlen zu arbeiten?
Ich würde mich über eure Hilfe sehr freuen!
Beste Grüße
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Hallo Rubstudent,
das ist irgendwie knifflig.
Ich habe zur Sicherheit erst einmal mit Excel die Lösung per Baum (Ausschnitt Pascalsches Dreieck) berechnet und komme auf 534888, genau ein Fünftel Deines Ergebnisses.
> In einem Casino wird folgendes Spiel gespielt:
> - Der Einsatz pro Runde beträgt 5 €
> - Im Falle eines Gewinns erhält der Spieler 10 €
> zurück
> - Im Falle eines Verlustes geht der Spieler leer aus
>
> Erwin beginnt das Spiel mit 15 € in der Tasche. Nach
> genau 25 Spielen geht ihm das Geld aus. Wieviele
> Möglichkeiten für Erwins Spielverlauf (d.h. Abfolgen von
> Gewinn und Verlust) gibt es?
> Hallo zusammen,
>
> ich hänge bei der obigen Aufgabe fest. Meine Idee war es,
> diese Aufgabe mit Hilfe de Catalanzahlen zu lösen.
Danach sieht es ja auch erst einmal aus. Es scheint dem Irrfahrtenproblem zu gleichen, aber dieses wird erheblich dadurch erweitert, dass man (bei einer Irrfahrt "nach oben") bis zu zwei Einheiten unter die Startlinie kommen darf und ganz am Ende sozusagen -3 erreichen muss.
> Da Erwin ja mit 15 € das Spiel beginnt und nach 25
> Spielen bei 0 € ist, müssen am Ende drei Klammer "zu"
> sein, also: ))) (3x -5 €). ")" steht für die 5 €
> Verlust.
Die Klammern verstehe ich, die 3x-5 nicht.
> Am Anfang müssen daher auch drei Klammern stehen, damit
> der Ausdruck geschlossen wird, also: ((( (3x5 €). "("
> steht also 5 € Gewinn. Dazwischen müssen ja dann noch
> 22 Klammern, also 11 Klammerpaare stehen, da die ersten 3
> Klammern noch keine Spielzüge darstellen, die letzten 3
> schon.
Das scheint das Problem zu sein. Die ersten drei Klammern stellen sehr wohl Spielzüge dar, aber eben gewonnene.
> Ich habe also insgesamt 14 Klammerpaare und die
> Catalanzahl C_14=2674440
>
> Ist meine Argumentation soweit richtig, irgendwie habe ich
> das Gefühl, dass ich was übersehen habe? Müssen meine
> ersten drei Paare nicht fest sein, also müsste ich C_11 +3
> rechnen? Oder ist es eher ungünstig mit den Catalanzahlen
> zu arbeiten?
Nein, es ist komplizierter.
Ich würde wie folgt vorgehen: Wenn Erwin mit 5€ startet und nach 23 Spielen pleite ist, dann gibt es dafür gerade [mm] C_{11} [/mm] Möglichkeiten - die Standard-Irrfahrten bis incl. zum 22. Spiel, und das verliert er dann, was die Zahl der Möglichkeiten also nicht verändert.
Wie verändert sich nun diese Zahl, wenn der Startbetrag 10€ beträgt und der Spieler nach 24 Spielen bei Null ankommt?
Lässt sich das verallgemeinern (Start bei 5k €, Ende nach 22+k Runden)?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:57 Mo 07.11.2011 | | Autor: | Harris |
Interpretiere mal das Vorgehen so:
Der Spieler B startet mit 5 Euro, gewinnt 4 mal. Danach spielt dann noch 24 Spiele und hat wieder 5 Euro. danach verliert er.
Der Spieler B hat nun gleich viele Möglichkeiten wie Erwin, denn nach 4 Spielen hat er 25 Euro, und um nach 25 Spielen pleite zu sein, muss das letzte Spiel verloren werden und er darf nie vorher unter 5 Euro kommen, da sonst schon vorher verloren wurde.
Also braucht man bei den 28 Spielen die 14. Catalanzahl. Die ersten 4 und das letzte Spiel(e) sind aber bereits eindeutig festgelegt. Das macht vielleicht den Faktor 5 von reverend aus...
Gruß, Harris
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