Carmichael Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Fr 06.07.2012 | | Autor: | Frisco |
| Aufgabe | Eigentlich ist es keine Aufgabe, ich lese gerade nur viel zu Carmichael-Zahlen und da ist mir das Kriterium von Pichon im Buch von Ribenboim aufgefallen, und dabei verstehe ich was nicht, die Methode von Pichon:
Das Produkt aus den 3 Faktoren 7m+1; 8m+1; 11m+1 ist eine Carmichael-Zahl wenn die einzelnen Faktoren prim sind und m [mm] \equiv [/mm] 326 [mm] \mod [/mm] 616 ist. |
Nun zu meinen Fragen:
Er schreibt weiter das leicht zu sehen ist, dass 3 [mm] \mid [/mm] m, wieso??
Die andere Sache die ich nicht verstehe ist, warum muss m [mm] \equiv [/mm] 326 [mm] \mod [/mm] 616 gelten?? Ich habe ein kleines Progrämmchen geschrieben und für m=1000 alle Zahlen ausgeben lassen, die alles erfüllen bis auf die m [mm] \equiv [/mm] 326 [mm] \mod [/mm] 616.
Das ist bei mir für m=30-->16831681
und für m=690-->202466780041
Ich sehe aber nicht warum der Fermat-Test hier scheitert. Kann mir jemand das bitte erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Fr 06.07.2012 | | Autor: | davux |
Hallo,
mir bietet sich gerade keine Möglichkeit es auszuprobieren. Die Methode von Gerard P. Michon, die du da beschreibst, ist mir bisher auch noch nicht bekannt gewesen. Soweit ich mich gerade informieren konnte, heißt es, er hätte einen ganz anderen Weg gefunden Carmichael-Zahlen zu berechnen. Daher kann ich dir dazu auch nicht mehr sagen.
Du hast sie aber in meinen Augen auch nicht richtig angewandt. So gilt doch:
[mm] $m\equiv 326\,mod\,616\gdw 616\,|\,(m-326)$
[/mm]
Bei dir sieht es so aus, als hättest du das $m$ sehr viel freier gewählt. Wenn m nicht durch 3 teilbar ist, dann ist einer der 3 Faktoren durch 3 teilbar und somit nicht prim, was aber vorausgesetzt wird.
"Ich denke, dass man da etwas, wenn m korrekt gewählt ist, so zerlegen kann, dass das Ganze mit dem Struktursatz korrespondiert."
Edit: Ich setze den letzten Satz in Anführungszeichen. Außerdem füge ich dir noch einen Link an: http://www.numericana.com/
Das soll die Homepage von Michon sein. Es gibt auf der Seite Numbers ein paar Links, die zu deiner Frage passen würden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Sa 07.07.2012 | | Autor: | Frisco |
| Aufgabe | | Das Produkt aus den 3 Faktoren 7m+1; 8m+1; 11m+1 ist eine Carmichael-Zahl wenn die einzelnen Faktoren prim sind und m $ [mm] \equiv [/mm] $ 326 $ [mm] \mod [/mm] $ 616 ist. |
Bist du sicher, dass ich sie falsch angewandt habe?? Ich denke eigentlich nicht... Ich habe halt zuerst nach Zahlen gesucht, ohne diese [mm] \equiv [/mm] 616 und habe dann diese mit denen die dann auch wirklich Carmichael-Zahlen sind verglichen! Die erste Zahl die dann alles erfüllt ist die Zahl mit dem INdex m=24966 und diese ist offensichtlich durch 3 teilbar, klar das ist kein beweis, aber die nächst folgenden erfüllen dies auch!
Mir ist es aber noch immer nicht klar warum dann 3 [mm] \mid [/mm] m gilt
Bzw. wie man beweisen kann, dass diese 3 Faktoren eine Carmichael-Zahl generieren sollen.
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moin Frisco,
Für die Teilbarkeit durch $3$ nimm mal an $m$ wäre nicht durch 3 teilbar.
Fall 1: $m [mm] \equiv [/mm] 1$ (mod 3)
Fall 2: $m [mm] \equiv [/mm] -1$ (mod 3)
Überlege dir für beide Fälle, dass dann eine der drei Zahlen keine Primzahl sein kann.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Sa 07.07.2012 | | Autor: | Frisco |
Danke für deine Hilfestellung, ich habe folgendes raus
1.Fall: [mm] m\equiv [/mm] 1 [mm] \mod [/mm] 3
--> [mm] (8m+1)\equiv [/mm] 9 [mm] \mod [/mm] 3 --> keine primzahl
2.Fall [mm] m\equiv [/mm] 2 [mm] \mod [/mm] 3
--> [mm] (7m+1)\equiv [/mm] 15 [mm] \mod [/mm] 3 --> keine Primzahl
Ebenso kann man auch zeigen, dass die Zahl durch 2 teilbar sein!
aber warum ist jetzt das Produkt mit den 3 Faktoren und der Einschränkung bzgl. m [mm] \equiv [/mm] 326 [mm] \mod [/mm] 616 eine carmichael zahl. Ich habe es schon mit dem satz von korselt versucht, aber der greift bei mir irgendwie nicht!
[mm] (7m+1)(8m+1)(11m+1)=616m^3+221m^2+26m+1=:N
[/mm]
Mit korselt müsste dann doch gelten
(7m+1)-1 [mm] \mid [/mm] N-1 kann aber die 7m hier nicht herausfaktorisieren
Zumal hier die 616 schon aufkommt, also müsste ich doch auf den richtigen weg sein, oder?!
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> Danke für deine Hilfestellung, ich habe folgendes raus
> 1.Fall: [mm]m\equiv[/mm] 1 [mm]\mod[/mm] 3
> --> [mm](8m+1)\equiv[/mm] 9 [mm]\mod[/mm] 3 --> keine primzahl
>
> 2.Fall [mm]m\equiv[/mm] 2 [mm]\mod[/mm] 3
> --> [mm](7m+1)\equiv[/mm] 15 [mm]\mod[/mm] 3 --> keine Primzahl
>
> Ebenso kann man auch zeigen, dass die Zahl durch 2 teilbar
> sein!
Genau, $m$ sollte auch gerne gerade sein, sonnst kann man $7m+1$ als Primzahl vergessen.
> aber warum ist jetzt das Produkt mit den 3 Faktoren und
> der Einschränkung bzgl. m [mm]\equiv[/mm] 326 [mm]\mod[/mm] 616 eine
> carmichael zahl. Ich habe es schon mit dem satz von korselt
> versucht, aber der greift bei mir irgendwie nicht!
> [mm](7m+1)(8m+1)(11m+1)=616m^3+221m^2+26m+1=:N[/mm]
> Mit korselt müsste dann doch gelten
> (7m+1)-1 [mm]\mid[/mm] N-1 kann aber die 7m hier nicht
> herausfaktorisieren
> Zumal hier die 616 schon aufkommt, also müsste ich doch
> auf den richtigen weg sein, oder?!
>
>
Schreibe dir $m = 326+616n$ für ein $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Dann ist $N-1$ durch $7m$, $8m$ und $11m$ teilbar, als Lösung erhält man jedesmal ein Polynom vom Grad 2 in $n$.
Da du ja wie es scheint mit Computeralgebrasystemen umgehen kannst (oder hast du die 24966 von Hand ausgerechnet?^^) sollte es für dich kein Problem sein das entsprechend einzutippen und dich an den Lösungen zu erfreuen.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:24 So 08.07.2012 | | Autor: | Frisco |
Danke für deine Nachricht: nur leider kommt es bei mir nicht raus:
also ich habe das mal mit maple versucht zu machen, was du mir gesagt hast, aber ...
ich habe mir zuerst eine Funktion definiert:
pol(m):=616 m^(3)+221 m^(2)+26 m+1
habe dieses dann wie du gesagt hast mit [mm] m\equiv [/mm] 326+616n auswerten lassen:
ter:=pol(326+616n)-1 (das enspricht ja dann unserem N-1...)
habe nun versucht dieses polynom durch 7n zu teilen, aber das kann ja auch gar nicht gehen, weil ter noch aus einem absoluten glied (also unabhängig von n) besteht.
Der ausdruck divide(ter,7n) liefert nicht das gewünschte :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 So 08.07.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke für deine Nachricht: nur leider kommt es bei mir
> nicht raus:
> also ich habe das mal mit maple versucht zu machen, was du
> mir gesagt hast, aber ...
> ich habe mir zuerst eine Funktion definiert:
> pol(m):=616 m^(3)+221 m^(2)+26 m+1
> habe dieses dann wie du gesagt hast mit [mm]m\equiv[/mm] 326+616n
> auswerten lassen:
> ter:=pol(326+616n)-1 (das enspricht ja dann unserem
> N-1...)
> habe nun versucht dieses polynom durch 7n zu teilen, aber
> das kann ja auch gar nicht gehen, weil ter noch aus einem
> absoluten glied (also unabhängig von n) besteht.
Du musst es aber nicht durch 7n teilen, sondern durch 7m = 7(326+616n). Das ist ein lineares Polynom mit nicht-konstanten absoluten Glied.
> Der ausdruck divide(ter,7n) liefert nicht das gewünschte
> :-(
Kein Wunder...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 So 08.07.2012 | | Autor: | Frisco |
Oh man ich eumel!
Es wäre auch hilfreich einfach mal nach einer Feier ins Bett zu gehen und nicht im Dämmerzustand noch was mit maple zu machen!
Hatte es heute Morgen raus bekommen, aber nochmal danke! 
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