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| Aufgabe | | Versuchen Sie so genau wie möglich, die Unmöglichkeit der Konstruktion unendlich kleiner Zahlen aus den Kehrwerten der Cantorschen Ordinalzahlen zu begründen. Welche Widersprüche träten dabei auf? |
Hallo Mathefreunde,
Ich bin Gerade dabei das Buch 3000 Jahre Analysis von Thomas Sonar zu lesen und durchzuarbeiten. Allerdings gibt es zum Ende dieses Buches hin Gebiete, bei denen ich noch keine oder nur sehr geringe Kenntnisse besitze.
Bei dieser Aufgabe verstehe ich nicht, was die Konstruktion unendlicher kleiner Zahlen mit den Cantorschen Ordinalzahlen zu tun haben.
Für eure Hilfe wäre ich euch sehr dankbar.
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo Christoph/meister_quitte,
da hat ja lange niemand geanwortet. Ich gebe Dir mal einen Hinweis, lasse die Frage dann aber halboffen. Vielleicht sieht jemand ja mehr.
> Versuchen Sie so genau wie möglich, die Unmöglichkeit der
> Konstruktion unendlich kleiner Zahlen aus den Kehrwerten
> der Cantorschen Ordinalzahlen zu begründen. Welche
> Widersprüche träten dabei auf?
Ganz vorab: ich bezweifle die Aufgabe.
Die ![[]](/images/popup.gif) Non-Standard-Analysis tut nämlich genau das, was hier als unmöglich angegeben wird.
> Hallo Mathefreunde,
>
> Ich bin Gerade dabei das Buch 3000 Jahre Analysis von
> Thomas Sonar zu lesen und durchzuarbeiten. Allerdings gibt
> es zum Ende dieses Buches hin Gebiete, bei denen ich noch
> keine oder nur sehr geringe Kenntnisse besitze.
>
> Bei dieser Aufgabe verstehe ich nicht, was die Konstruktion
> unendlicher kleiner Zahlen mit den Cantorschen
> Ordinalzahlen zu tun haben.
Das steht doch da: es geht um Kehrwerte.
Das Hauptproblem entsteht dabei wie folgt.
Es gilt [mm] \aleph_1>\aleph_0.
[/mm]
Also gilt auch [mm] \bruch{1}{\aleph_1}<\bruch{1}{\aleph_0}, [/mm] oder?
Das ist aber ein Widerspruch zu folgender Beobachtung:
[mm] \lim_{k\to\aleph_1}\bruch{1}{k}=\lim_{z\to\aleph_0}\bruch{1}{z}=0
[/mm]
Die Non-Standard-Analysis operiert wegen dieses Widerspruchs nicht mit Grenzwerten und kommt doch zu Ergebnissen. Insofern sehe ich den Sinn der Aufgabe nicht.
Genauso unsinnig wäre es, jemandem mit gutem Schulmathematikniveau zu erklären, warum [mm] \aleph_1>\aleph_0 [/mm] ist, bzw. was der rekursive Zusammenhang der [mm] \aleph_i [/mm] ist.
Dabei ist sicher nicht hilfreich, dass die Kontinuumshypothese nicht bewiesen ist, was ein anderes Thema zu sein scheint. Das täuscht allerdings erheblich. 
> Für eure Hilfe wäre ich euch sehr dankbar.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:20 Mi 27.03.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
> Ganz vorab: ich bezweifle die Aufgabe.
Ich auch. Was soll denn eine "Konstruktion unendlich kleiner Zahlen aus den Kehrwerten der Cantorschen Ordinalzahlen" genau leisten?
> Die Non-Standard-Analysis
> tut nämlich genau das, was hier als unmöglich angegeben
> wird.
Sicherlich gibt es dort Zahlen, die zwischen 0 und allen reellen Zahlen >0 liegen. Aber dort wird nicht mit Kehrwerten von Ordinalzahlen gearbeitet.
Da die Klasse aller Ordinalzahlen keine Menge ist, wird auch die Klasse aller Kehrwerte von Ordinalzahlen (was auch immer man genau darunter verstehen möchte) keine Menge sein. In der Nichtstandardanalysis bildet die betrachtete Zahlenklasse jedoch eine Menge.
(Übrigens ist die Rede von den Ordinalzahlen, nicht nur von den Kardinalzahlen.)
Ich habe gerade mal bei Amazon in der Buchvorschau geguckt: Der Autor hat offenbar die Bedeutung von [mm] $\aleph_1$ [/mm] und damit die Bedeutung der Kontinuumshypothese gründlich missverstanden. Also diesen Abschnitt im Buch mit großer Vorsicht genießen!
Viele Grüße
Tobias
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Danke Leute, ich dachte es würde niemand mehr antworten. Ab der Non-Standard-Analysis hab ich das Buch nicht mehr so kapiert. Aber ein Glück das ihr mich darauf hingewiesen habt. Vielen Dank!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Fr 05.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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