Cantor/Vitali Menge Lebesgue M < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Entscheiden Sie für die folgenden Mengen, ob sie Lebesgue-messbar sind und bestimmen sie ggf. das Lebesgue Maß:
a) Cantormenge
b) Vitali Menge |
Hallo,
die Cantor Menge ist ja wie folgt definiert: [mm] A_{0}=[0,1] [/mm] und zu n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] A_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} (A_{n} \cup (2+A_{n})) [/mm]
und dann gilt [mm] C=\bigcap_{n=0}^{\infty} A_{n}
[/mm]
Also ist der Schnitt am Ende überabzählbar viele Punkte im Intervall [0,1].
Ich habe jetzt rausgefunden dass sie Lebesgue messbar sein soll.
Dafür haben wir als Definition:
C [mm] \subset \IR [/mm] heißt Lebesgue messbar, wenn für alle R [mm] \subset \IR [/mm] gilt:
[mm] \lambda^{\*}(R)\ge \lambda^{\*}(R\cap [/mm] C)+ [mm] \lambda^{\*}(R\cap C^{c})
[/mm]
wobei [mm] \lambda^{\*} [/mm] das äußere Lebesgue Maß beschreibt:
[mm] \lambda^{\*}(M) [/mm] = inf { [mm] \summe_{j=1}^{\infty} \lambda(Q_{j}) [/mm] ; [mm] Q_{j} [/mm] beschränkte Quader, M [mm] \subset \bigcup_{j=1}^{\infty} Q_{j} [/mm] } (liegt im Intervall [mm] [0,\infty] [/mm]
Mir fällt es momentan noch sehr schwer mit diesen Definitionen umzugehen.
Hätte jemand evtl einen Ansatz für mich wie man an die Sache ran gehen kann?
Meine beliebigen Mengen R müssten ja Intervalle sein da wir von [mm] \IR [/mm] sprechen. Sobald das Intervall [0,1] oder kleiner in [0,1] wäre, würden ja im Schnitt von R und C immer unendlich viele Punkte liegen oder? Da dachte ich eher dass es dann nicht so einfach wäre, mögliche Quader zu konstruieren. Aber mit dem Gedanken liege ich anscheinend leider falsch..
Vielen Dank für jede Hilfe !!
(auch für ansätze bei der Vitali Menge bin ich dankbar - diese ist ja nicht Lebesgue Messbar..)
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Hiho,
bist du sicher, dass du die Meßbarkeit über die Definition zeigen musst?
Was weißt du denn über den [mm] ($\sigma$-)Schnitt [/mm] meßbarer Mengen?
> und dann gilt [mm]C=\bigcap_{n=0}^{\infty} A_{n}[/mm]
>
> Also ist der Schnitt am Ende überabzählbar viele Punkte im Intervall [0,1].
C ist überabzählbar, ja. Aber der Schnitt ist nur abzählbar!
Gruß,
Gono
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