C^\infty-Fkt. konstruieren < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] $a_0
a) Konstruieren sie [mm] $C^{\infty}$-Funktionen [/mm] $h$ und $k$ so, dass
[mm] h(x)=\begin{cases}1, x\leq a_0\\ 0, x\geq b_0\end{cases}
[/mm]
sowie
[mm] k(x)=\begin{cases}1,a_1\leq x\leq b_1\\0, x\leq a_0\,\,\,\text{oder}\,\,\, x\geq b_0\end{cases}
[/mm]
b) Konstruieren Sie eine beliebig oft stetig differenzierbare Funktion [mm] \phi:\mathbb{R}^d\to[0,\infty) [/mm] mit kompakten Träger und
[mm] $\int_{\mathbb{R}^d}\phi(x)\, [/mm] dx=1$ |
Hi,
ich möchte gerade derartige Funktionen konstruieren.
Zur Konstruktion von $h$:
Gesucht ist eine Funktion $h$ mit
[mm] $\lim_{x\to b_0} [/mm] h(x)=0$ und [mm] $\lim_{x\downarrow a_0} [/mm] h(x)=1$
sowie
[mm] $\lim_{x\to b_0} [/mm] h'(x)=0$ und [mm] $\lim_{x\downarrow a_0} [/mm] h'(x)=0$
Ich muss also natürlich eine passenden Funktionsvorschrift für das Intervall [mm] $(a_0,b_0)$ [/mm] finden, welche dies liefert.
Gedacht habe ich an etwas "logistisches".
Mit Polynomen braucht man es ja gar nicht erst versuchen.
Es muss schon in die Richtung einer exponentiellen Funktion gehen.
Also etwas der Art:
[mm] $h(x)=-\frac{1}{2}(\tanh(x-\tfrac{a_0+b_0}{2})+1)$
[/mm]
Das Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich diese Funktion noch mit den vier weiteren Grenzwerteigenschaften ausstatten kann. Wobei es ja genügen müsste wenn ich es hin bekomme, dass sie an den Rändern von [mm] $(a_0,b_0)$ [/mm] jeweils den gewünschten Grenzwert annehmen. Dann ist die Ableitung an den Rändern ja automatisch Null, da konstant.
Habt ihr eine Idee?
Vielen Dank im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Sa 02.01.2016 | | Autor: | Fulla |
Hallo impliziteFunktion,
was du suchst nennt sich "Abschreidefunktion". Bei Exponentialfunktionen bist du dabei schon auf der richtigen Spur.
Beispiele wären etwa [mm]e^{1/x}[/mm] oder [mm]e^{-\frac 1x}[/mm], je nach dem, auf welcher Seite die Funktion ansteigen soll. Auch höhere Potenzen von x sind möglich - dann wird der Übergang "steiler".
Lieben Gruß,
Fulla
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Hi,
ja so eine Funktion wurde erwähnt.
Das Problem bleibt aber das gleiche.
Wie kann ich solche Funktionen so modifizieren, dass sie bereits auf dem Intervall [mm] $(a_0, b_0)$, [/mm] bzw. den Rändern, ihre Konvergenz annehmen und nicht erst für [mm] $\pm\infty$.
[/mm]
Denn nur so schaffe ich es doch die Funktion stetig und auch differenzierbar zu machen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Sa 02.01.2016 | | Autor: | Fulla |
> Hi,
>
> ja so eine Funktion wurde erwähnt.
> Das Problem bleibt aber das gleiche.
> Wie kann ich solche Funktionen so modifizieren, dass sie
> bereits auf dem Intervall [mm](a_0, b_0)[/mm], bzw. den Rändern,
> ihre Konvergenz annehmen und nicht erst für [mm]\pm\infty[/mm].
> Denn nur so schaffe ich es doch die Funktion stetig und
> auch differenzierbar zu machen.
Hallo nochmal!
Wir hatten mal eine Aufgabe, die deiner ganz ähnlich ist. Allerdings war die Funktion gegeben und man sollte zeigen, dass gewisse Eigenschaften erfüllt sind.
Sei
[mm]f(x):=\begin{cases} e^{-\frac 1x},& x>0\\ 0, & x\le 0\end{cases}[/mm].
Betrachte dann [mm]F(x):=e^e f(f(1)-f(1-x))[/mm].
Diese Funktion [mm]F[/mm] ist nicht ganz das, was du suchst: sie ist für [mm] $x\le [/mm] 0$ konstant Null und für [mm] $x\ge [/mm] 1$ konstant Eins. Aber sich kannst du sie entsprechend modifizieren...
Lieben Gruß,
Fulla
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi,
danke. Das ist schon mal ein gutes "Fundament", auch wenn es mir bisher nicht gelungen ist die Funktion entsprechend zu modifizieren.
> Betrachte dann $ F(x):=e^e f(f(1)-f(1-x)) $.
Eine gewisse Zeit hielt ich das $e^e$ für einen Tippfehler und dachte es müsste $e^x$ heißen, konnte mich aber mittlerweile davon überzeugen, dass es die "Fehlerkorrektur" ist, damit es passt.
Ich möchte nun deine Funktion $f$ so modifizieren, dass es mit ihr gelingt.
Das erweist sich leider als schwieriger als ich zunächst angenommen habe. Irgendwie habe ich eine kleine Denkblockade, weil ich auch immer eine gewisse Zeit brauche mir die Funktion zu veranschaulichen...
Mein Hauptproblem ist dabei, dass wenn ich die Funktion modifiziere, muss ich dann insgesamt drei Fälle unterscheiden, anstelle deiner zwei?
Die Fälle:
1. $x\leq a_0$
2. $a_0<x<b_0$
3. $x\geq b_0$
Oder reichen auch hier zwei Fälle, auch wenn ich mir noch nicht ganz sicher bin wie die dann aussehen würden.
Vielleicht:
1. $x\geq b_0$
2. $x<b_0$
Die modizierte Funktion $F$ sollte dann so aussehen:
$F(x):=cf(f(a_0)-f(a_0-x))$ mit einem bisher noch unbekanntem Korrekturfaktor $c$, denn ich berechnen kann, wenn ich $f$ korrekt angepasst habe.
Bisher gehe ich davon aus, dass ich drei Fälle unterscheiden muss, ich bin mir da aber leider nicht sicher und habe hier auch eine gewisse Blockade...
Jedenfalls sollte die Funktion $f$ später ungefähr so aussehen (hier würde noch ein Fall fehlen und ich bin mir noch nicht ganz sicher, ob ich den Exponenten so anpassen muss):
$f(x)=\begin{cases} e^{\frac{1}{x-a_0}, \quad a_0<x<b_0\\ 0, x\geq b_0\end{cases}$
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:20 Fr 08.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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