C1 Diffeomorphismus < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Do 09.07.2009 | | Autor: | Phecda |
hey ich soll zeigen, dass f: [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR^2 [/mm]
(x,y) -> [mm] (x^3 [/mm] + [mm] 3xe^y, y-x^2) [/mm] ein C1 Diffeomorphismus von [mm] \IR^2 [/mm] auf [mm] \IR^2 [/mm] ist.
Also die Jacobimatrix von dieser Funktion existiert und alle Ableitungne sind stetig! Auserdem ist die Jacobidet für alle elemente des [mm] \IR^2 [/mm] nicht null. d.h f ist lokal umkehrbar, aber wie zeige ich, dass dann auch die umkehrabbildung partiel stetig differenzierbar ist?
und warum ist f bijektiv?
kann mir jmd in den 2 punkten helfen?
danke 
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Hallo Phecda,
> hey ich soll zeigen, dass f: [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR^2[/mm]
> (x,y) -> [mm](x^3[/mm] + [mm]3xe^y, y-x^2)[/mm] ein C1 Diffeomorphismus von
> [mm]\IR^2[/mm] auf [mm]\IR^2[/mm] ist.
>
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> Also die Jacobimatrix von dieser Funktion existiert und
> alle Ableitungne sind stetig! Auserdem ist die Jacobidet
> für alle elemente des [mm]\IR^2[/mm] nicht null. d.h f ist lokal
> umkehrbar, aber wie zeige ich, dass dann auch die
> umkehrabbildung partiel stetig differenzierbar ist?
Bilde die Ableitung der Umkehrabbildung.
Betrachte hier
[mm]g\left(u,v\right)=\pmat{x^{3}\left(u,v\right)+3*x\left(u,v\right)*e^{y\left(u,y\right)}-u \\ y\left(u,v\right)-x^{2}\left(u,v\right)-v}=\pmat{0 \\ 0}[/mm]
Differenziere dies nach u und v.
Untersuche dann den Ausdruck
[mm]\pmat{x_{u} & x_{v} \\ y_{u} & y_{v}}[/mm]
auf Stetigkeit.
> und warum ist f bijektiv?
Setze hier an:
[mm]\pmat{x^{3}+3x*e^{y} \\ y-x^{2}}=\pmat{u \\ v}[/mm]
Aus der Gleichung
[mm]y-x^{2}=v[/mm]
ergeben sich in 2 Wertepaare [mm]\left(x_{1}, y_{1}\right), \ \left(x_{2}, y_{1}\right)[/mm]
Zeige dann, daß die Gleichung
[mm]x^{3}+3*x*e^{y}=u[/mm]
nur für ein Wertepaar erfüllt sein kann.
> kann mir jmd in den 2 punkten helfen?
> danke
Gruss
MathePower
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