C-linear, R-linear < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Sa 06.04.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Eine [mm] \IR [/mm] lineare Abbildung T: [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR^2 [/mm] ist durch Multiplikation mit einer 2x2 Matrix mit reellen Einträgen gegeben, also durch
z =(x+iy) [mm] ->\pmat{ a & b \\ c & d } \vektor{x \\ y} [/mm] = (ax+by) i(cx+dy)
Frage:
Die Abbildung T ist genau dann [mm] \IC-linear, [/mm] wenn sie mit der Multiplikation mit i kommutiert,also wenn
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d }\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }\pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] |
Hallo,
Warum gilt diese Behauptung?
Eine [mm] \IC [/mm] - lineare Abbildung ist ja einfach die Multiplikation mit der Konstanten L(1) [mm] \in \IC [/mm] (da L(z)=L(z1)=zL(1))
Aber die Behauptung sehe ich trotzdem nicht.
2Frage:
Ich kann eine [mm] \IR [/mm] - lineare Funktion in z und [mm] \overline{z} [/mm] entwickeln (als Basisentwicklung)
Wieso zeichnet sich eine eine [mm] \IC [/mm] - lineare Funktion durch das Verwinden des Koeffizienten von [mm] \overline{z} [/mm] aus??
T(z)= [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \vektor{x \\ y} [/mm] = x* (a+ic) + y(b+id)=(Re z) *(a+ic) + (Im z) *(b+id) = [mm] \frac{z + \overline{z}}{2} [/mm] A + [mm] \frac{z - \overline{z}}{2i} [/mm] B = z * (A/2 + B/(2i)) + [mm] \overline{z}(A/2 [/mm] - B/(2i))
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Sa 06.04.2013 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 } [/mm] $ = $ [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }\pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] $ [mm] \gdw [/mm] d=a und c=-b.
Hilft das ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Sa 06.04.2013 | | Autor: | sissile |
Das war mir eigentlich klar.
Die Matrix sieht dann so aus:
z =(x+iy) [mm] ->\pmat{ a & b \\ -b & a } \vektor{x \\ y} [/mm]
Was hat das jedoch damit zu tun , dass sie Funktion [mm] \IC [/mm] - linear ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:03 So 07.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
hier wird ja [mm] $\IC$ [/mm] mit [mm] $\IR^2$ [/mm] identifiziert, und die "Multiplikation [mm] $\bullet$ [/mm] zwischen zwei
Elementen [mm] $(r,s)^T, (u,v)^T \in \IR^2$" [/mm] ist durch
[mm] $$(r,s)^T \bullet (u,v)^T:=(ru-sv,\,rv+su)^T$$
[/mm]
gegeben.
(Das ist ja auch das, was man in [mm] $\IC$ [/mm] gerne haben will:
[mm] $(r+is)*(u+iv)=ru-sv+i*(rv+su)\,.$
[/mm]
Später schreibe ich übrigens auch [mm] $*\,$ [/mm] für 'die' Matrixmultiplikation, ich
hoffe, dass das aus dem Zusammenhang immer klar bleibt und Dich nicht
verwirrt!)
Nun sei $f [mm] \colon \IR^2 \to \IR^2$ [/mm] wie angegeben mit einer Matrix [mm] $\pmat{a&b\\c&d}$ [/mm] durch
[mm] $$f(x,y):=\pmat{a & b\\ c & d }*\vektor{x\\y}$$
[/mm]
gegeben.
[|Beachte, dass man strenggenommen [mm] $f(\vektor{x\\y})$ [/mm] schreiben müßte.
Aus Effizienzgründen - ohne Informationsverlust oder sonstiger
Verfälschungsgefahr - einigt man sich aber darauf, dass man hier erstmal
den Spaltenvektor als Zeilenvektor im Argument schreibt:
[mm] $$f((x,y)):=f(\vektor{x\\y})$$
[/mm]
und das doppelte Klammerpaar erspart man sich ebenfalls, und setzt nur
eines:
[mm] $$f(x,y):=f((x,y)):=f(\vektor{x\\y})\,.$$
[/mm]
Das ist üblich; ich hoffe, Dich verwirrt es im Folgenden nicht! |]
Behauptung ist ja: [mm] $f\,$ [/mm] ist genau dann [mm] $\IC$-linear, [/mm] wenn blablabla...
Mach' Dir erstmal klar, dass [mm] $\IC \ni [/mm] i$ mit [mm] $\vektor{0\\1} \in \IR^2$ [/mm] identifiziert wird.
1. Was ist $i [mm] \cdot [/mm] (x+iy)$ (Multiplikation in [mm] $\IC$ [/mm] ist gemeint!)? Naja, das kannst Du rechnen (s.o.)
[mm] $$\vektor{0\\1}\bullet \vektor{x\\y}=...=\vektor{-y\\x}\,.$$
[/mm]
(Alternativ: [mm] $i*(x+iy)=-y+i*x\,$ [/mm] entspricht [mm] $(-y,x)^T\,.$) [/mm]
Wenn Du das rein mit "Matrixmultiplikationen" [mm] $\cdot$ [/mm] beschreiben willst (beachte,
dass [mm] $\bullet \colon \IR^2 \times \IR^2 \to \IR^2$ [/mm] ist!), dann siehst Du, dass
[mm] $$\vektor{0\\1} \bullet \vektor{x\\y}=\vektor{-y\\x}$$
[/mm]
sich auch schreiben läßt als
[mm] $$\vektor{0\\1} \bullet \vektor{x\\y}=\pmat{0 & 1 \\ -1 & 0} \cdot \vektor{x\\y}$$
[/mm]
Edit: Man beachte auch die Bemerkung zu einer Korrektur in dieser
Antwort, die sich entsprechend einer Nachfrage von Sissile hier (klick!) ergab!
@Sissile: Danke für's aufmerksame mitlesen und den Hinweis!
(rechne es nach! edit: Wie in der Korrektur erwähnt: da fehlt eine multiplikative [mm] $-1\,,$)
[/mm]
Ich definiere mal kurz als Abkürzung [mm] $A:=\pmat{a & b \\ c & d}\,.$
[/mm]
Nun zu [mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Wir setzen hier [mm] $f\,$ [/mm] als [mm] $\IC$-linear [/mm] voraus, dann muss also INSBESONDERE auch
[mm] $$f((0,1)^T\bullet (x,y)^T)=(0,1)^T \bullet f(x,y)=\red{\pmat{0 & 1 \\ -1 & 0} \cdot \bigg(\underbrace{A*\vektor{x\\y}}_{\in \IR^2}\bigg)}$$
[/mm]
gelten.
Andererseits ist per Definitionem von [mm] $f\,$ [/mm] sowieso
[mm] $$f((0,1)^T \bullet (x,y)^T)=A*((0,1)^T \bullet (x,y)^T)$$
[/mm]
und mit dem eben gesagten
[mm] $$f((0,1)^T \bullet (x,y)^T)=\green{A*\left(\pmat{0 & 1 \\ -1 & 0} *\vektor{x\\y}\right)}\,.$$
[/mm]
D.h. für alle [mm] $(x,y)^T \in \IR^2$ [/mm] muss das rotmarkierte mit dem grünmarkierten
übereinstimmen.
Versuch' mal damit, den ersten Teil Deiner "genau dann, wenn" Aussage
zu Ende zu folgern. (Wahl spezieller [mm] $(x,y)^T \in \IR^2$ [/mm] wird das wohl liefern!)
Nun zu der Beweisrichtung [mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
Du weißt ja nun schon von Fred, dass unter der gegebenen Voraussetzungen
hier folgt, dass das [mm] $A\,$ [/mm] von oben erfüllt
[mm] $$A=\pmat{a & b \\ -b & a}$$
[/mm]
und dass Du dann
[mm] $$f(x,y)=\pmat{a & b \\ -b & a}\cdot \vektor{x\\y}$$
[/mm]
vorliegen hast.
Klar ist hier doch weiterhin, dass stets [mm] $f((x_1,y_1)^T+(x_2,y_2)^T)=f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2)$ [/mm] gilt. (Ist Dir das klar?)
Wir müssen uns "also nur noch um die komplexe Multiplikation" kümmern:
Sei nun $r+is [mm] \in \IC\,,$ [/mm] diese Zahl werde also identifiziert mit [mm] $\vektor{r\\s} \in \IR^2\,.$
[/mm]
Wir haben nun folgendes nachzurechnen:
[mm] $$f((r,s)^T \bullet (x,y)^T)=(r,s)^T \bullet f(x,y)\,.$$
[/mm]
Bekommst Du das hin?
[|Beachte: [mm] $f((r,s)^T \bullet (x,y)^T)=f((rx-sy,\,ry+sx)^T)=f(rx-sy,\,ry+sx)\,,$
[/mm]
und das kannst Du nun ausrechnen!
Und danach berechnest Du [mm] $f(x,y)=\vektor{ax+by\\-bx+ay} \in \IR^2$
[/mm]
und danach dann
[mm] $$\vektor{r\\s} \bullet [/mm] f(x,y)=...$$
und vergleichst die Ergebnisse!|]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:04 So 07.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
nur mal kurz generell eine Bemerkung, die Dir helfen soll, aus der Gleichheit
der farbigen Teile die behauptete Gleichheit bei der einen Folgerungsrichtung
herzuleiten:
Wenn Du Matrizen $R,S [mm] \in \IR^{m \times n}$ [/mm] hast, und es gilt für alle $x [mm] \in \IR^n$
[/mm]
[mm] $$R*x=S*x\,,$$
[/mm]
dann folgt schon [mm] $R=S\,.$
[/mm]
Warum? Für [mm] $x=(1,0,...,0)^T \in \IR^n$ [/mm] gilt
[mm] $$R*\vektor{1\\0\\.\\.\\.\\0}=S*\vektor{1\\0\\.\\.\\.\\0}\,,$$
[/mm]
also muss die erste Spalte der Matrix [mm] $R\,$ [/mm] komplett mit der ersten der Matrix
[mm] $S\,$ [/mm] übereinstimmen. (Daraus folgt - wenn wir [mm] $R=(r_{i,j})_{\substack{i=1,...,m\\j=1,...,n}}$ [/mm] schreiben, analoges
für [mm] $S\,$ [/mm] - sodann [mm] $r_{i,1}=s_{i,1}$ [/mm] für alle $i [mm] \in \{1,...,m\}\,.$)
[/mm]
Wie geht's wohl weiter?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Sa 13.04.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo
> $ [mm] \vektor{0\\1} \bullet \vektor{x\\y}=\vektor{-y\\x} [/mm] $
> sich auch schreiben läßt als
> $ [mm] \vektor{0\\1} \bullet \vektor{x\\y}=\pmat{0 & 1 \\ -1 & 0} \cdot \vektor{x\\y} [/mm] $
Rechts steht doch die Matrizenmultiplikation da? Dann stimmt das ergebnis aber nicht überein!?
2Frage:
Ich kann eine $ [mm] \IR [/mm] $ - lineare Funktion in z und $ [mm] \overline{z} [/mm] $ entwickeln (als Basisentwicklung)
> Wieso zeichnet sich eine eine $ [mm] \IC [/mm] $ - lineare Funktion durch das Verwinden des Koeffizienten von $ [mm] \overline{z} [/mm] $ aus??
> T(z)= $ [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \vektor{x \\ y} [/mm] $ = x* (a+ic) + y(b+id)=(Re z) *(a+ic) + (Im z) *(b+id) = $ [mm] \frac{z + \overline{z}}{2} [/mm] $ A + $ [mm] \frac{z - \overline{z}}{2i} [/mm] $ B = z * (A/2 + B/(2i)) + $ [mm] \overline{z}(A/2 [/mm] $ - B/(2i))
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Sa 13.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Hallo
>
> > [mm]\vektor{0\\1} \bullet \vektor{x\\y}=\vektor{-y\\x}[/mm]
>
>
> > sich auch schreiben läßt als
>
> > [mm]\vektor{0\\1} \bullet \vektor{x\\y}=\pmat{0 & 1 \\ -1 & 0} \cdot \vektor{x\\y}[/mm]
>
> Rechts steht doch die Matrizenmultiplikation da? Dann
> stimmt das ergebnis aber nicht überein!?
ja, Du hast Recht:
[mm] $$\vektor{0\\1} \bullet \vektor{x\\y} \hat{=}i*(x+iy)=-y+i x\hat{=}\vektor{-y\\x}\,.$$
[/mm]
Und
[mm] $$\pmat{0 & 1 \\ -1 & 0} \cdot \vektor{x\\y}=\pmat{0*x+1*y\\-1*x+0*y}=\vektor{y\\-x}$$
[/mm]
Ersetze [mm] $\pmat{0 & 1 \\ -1 & 0} [/mm] $ durch [mm] $\pmat{0 & -1 \\ 1 & 0}\,,$ [/mm] oder multipliziere an entsprechenden Stellen
halt [mm] $-1\,$ [/mm] (siehst Du ja auch am Ergebnis der obigen Rechnungen!) Ich
denke, dass das ganze aber keine großen Auswirkungen auf die restlichen
Überlegungen hat - aber stimmt:
Da habe ich nicht aufgepasst, und vielleicht ist das auch ein Verschreiber
vom Aufgabensteller. Ich dachte eigentlich, dass ich das bei meiner Antwort
auch nachgerechnet hätte, aber hatte ich wohl vergessen, oder mich
halt auch verrechnet und eine multiplikative [mm] $-1\,$ [/mm] verschlampt!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 So 14.04.2013 | | Autor: | Helbig |
> Eine [mm]\IR[/mm] lineare Abbildung T: [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR^2[/mm] ist durch
> Multiplikation mit einer 2x2 Matrix mit reellen Einträgen
> gegeben, also durch
> z =(x+iy) [mm]->\pmat{ a & b \\ c & d } \vektor{x \\ y}[/mm] =
> (ax+by) i(cx+dy)
>
> Frage:
> Die Abbildung T ist genau dann [mm]\IC-linear,[/mm] wenn sie mit
> der Multiplikation mit i kommutiert,also wenn
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
Die Matrix der Multiplikation mit i lautet bzgl. der kanonischen Basis $(1, i)$ des reellen Vektorraumes [mm] $\IC$:
[/mm]
[mm] $\pmat {0&-1\cr 1& 0\cr}\,.$
[/mm]
Die Matrix in der Aufgabe stellt dagegen die Multiplikation mit -i dar.
>
> Hallo,
> Warum gilt diese Behauptung?
> Eine [mm]\IC[/mm] - lineare Abbildung ist ja einfach die
> Multiplikation mit der Konstanten L(1) [mm]\in \IC[/mm] (da
> L(z)=L(z1)=zL(1))
> Aber die Behauptung sehe ich trotzdem nicht.
Sei [mm] $T\colon \IC\to\IC$ [/mm] eine [mm] $\IR$-lineare [/mm] Abbildung, die mit der Multiplikation mit i kommutiert, d. h. es gilt für alle [mm] $z\in \IC$:
[/mm]
$T(i*z) = [mm] i*T(z)\,.$
[/mm]
Wir zeigen, daß $T$ dann schon [mm] $\IC$-linear [/mm] ist.
Für alle $x, y [mm] \in \IR, u\in \IC$ [/mm] gilt:
[mm] $T\bigl((x+iy)u\bigr)$
[/mm]
$= T(xu+iyu)$ (Distributivgesetz in [mm] $\IC$)
[/mm]
$=xTu+yT(iu)$ ($T$ ist [mm] $\IR$-linear)
[/mm]
$=xTu + iyTu$ ($T$ kommutiert mit der Multiplikation mit i)
[mm] $=(x+iy)Tu\,.$ [/mm] (Distributivgesetz in [mm] $\IC$)
[/mm]
>
> 2Frage:
> Ich kann eine [mm]\IR[/mm] - lineare Funktion in z und [mm]\overline{z}[/mm]
> entwickeln (als Basisentwicklung)
> Wieso zeichnet sich eine eine [mm]\IC[/mm] - lineare Funktion durch
> das Verwinden des Koeffizienten von [mm]\overline{z}[/mm] aus??
> T(z)= [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \vektor{x \\ y}[/mm] = x* (a+ic)
> + y(b+id)=(Re z) *(a+ic) + (Im z) *(b+id) = [mm]\frac{z + \overline{z}}{2}[/mm]
> A + [mm]\frac{z - \overline{z}}{2i}[/mm] B = z * (A/2 + B/(2i)) +
> [mm]\overline{z}(A/2[/mm] - B/(2i))
Zur [mm] $\IR$-linearen [/mm] Abbildung [mm] $T\colon \IC\to\IC$ [/mm] gibt es komplexe Zahlen $u, v$ so, daß für alle [mm] $z\in \IC$ [/mm] gilt
$Tz = uz + [mm] v\overline z\,.$
[/mm]
Wir haben also:
$T(1) = u + [mm] v*\overline [/mm] 1 = u+v$ und
$T(i) = u*i + [mm] v*\overline [/mm] i = u*i - v*i = (u-v) * [mm] i\,.$
[/mm]
Ist $T$ sogar [mm] $\IC$-linear, [/mm] so folgt:
$(u-v)*i = T(i) = T(1*i) = i T(1) = [mm] i(u+v)\,.$
[/mm]
Und hieraus weiter [mm] $v=0\,.$
[/mm]
Die Aufgabe selbst und die anderen Lösungsversuche zeigen, daß das Rechnen mit linearen Abbildungen eleganter und weniger fehlerträchtig ist als das Matrizenkalkül.
Außerdem kommt man auch sehr gut aus ohne die nichtssagende aber in vielen Vorlesungen und Lehrbüchern herumgeisternde "Identifikation" von [mm] $\IC$ [/mm] mit [mm] $\IR^2\,.$ [/mm] Es reicht völlig, wenn man weiß, daß [mm] $\IC$ [/mm] ein zweidimensionaler reeller Vektorraum ist.
Dies mußte mal gesagt werden!
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
|
