C-Vektorraum von Folgen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Do 15.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hi,
ich weiß wie ich vorzugehen habe, wenn ich die Linearität einer Abbildung zeigen soll.
Z.B.:
[mm] \IC \to \IC, [/mm] z [mm] \mapsto [/mm] "z quer".
Aber wie ich das mit Folgen von komplexen Zahlen machen soll weiß ich beim besten Willen nicht!!!
Kann mir jemand einen Tipp zu einer der folgenden Aufgaben geben????
" Es ist S( [mm] \IC) [/mm] der [mm] \IC [/mm] -Vektorraum aller Folgen [mm] (a_n)_(n_\ge_1) [/mm] komplexer Zahlen [mm] a_n.
[/mm]
Welche der folgenden Abbildungen A : S( [mm] \IC) \to \IC [/mm] sind linear abhänigig?
a) [mm] A((a_n)_(n \ge_1)) [/mm] = [mm] (na_n)_(n \ge_1)
[/mm]
b) [mm] A((a_n)_(n \ge_1)) [/mm] = [mm] (a^2_n)_(n \ge_1)
[/mm]
c) [mm] A((a_n)_(n \ge_1)) [/mm] = [mm] ((n^2)*a_(n+1))_(n \ge_1) [/mm] "
Ich bedanke mich im Voraus ganz herzlich,
Gruß Didi_160
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Do 15.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo didi,
> Welche der folgenden Abbildungen A : S( [mm]\IC) \to \IC[/mm] sind
> linear abhänigig?
...da hat Wohl der Tippfehlerteufel zugeschlagen, du meinst wahrscheinlich "linear" (ohne "abhängig").
für die Linearität einer Abbidlung A musst du ja folgendes zeigen:
1.) A(x+y) = A(x) + A(y)
2.) [mm] A(\lambda [/mm] x) = [mm] \lambda [/mm] A(x)
für alle x,y aus dem gegebenen Vektorraum und für jeden Skalar [mm] \lambda.
[/mm]
In deinem Fall sind jetzt x und y jeweils Folgen von komplexen Zahlen. Um das ganze etwas übersichtlicher zu halten, werde ich jetzt mal eine Folge immer mit eckigen Klammern schreiben, also [mm] [a_n] [/mm] ist die Folge mit den Gliedern [mm] a_n....
[/mm]
Ich nehme mal an, ihr addiert Folgen, indem jeweils entsprechende Glieder adiiert werden:
[mm] [a_n] [/mm] + [mm] [b_n] [/mm] = [mm] [a_n+b_n]
[/mm]
...und entsprechend auch die Skalarmultiplikation:
[mm] \lambda[a_n] [/mm] = [mm] [\lambda a_n]
[/mm]
Wenn dem so ist, dann lässt sich die Linearität wieder ganz einfach nachrechnen. Mal zum ersten Teil von Aufgabe a):
[mm]A([a_n]+[b_n]) = A([a_n+b_n]) = (n[a_n+b_n]) = [na_n + nb_n] = [na_n] + [nb_n] = A([a_n]) + A([b_n])[/mm]
...und so oder so ähnlich kannst Du dann auch mal an die anderen Aufgaben rangehen.
Alles klar?
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Do 15.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Besten Dank für Deinen Tipp!
Natürlich heißt das linear!!!
Wenn ich zwei komplexe Folgen hätte, leuchtet mir die Vorgehensweise ein.
In meiner Aufgabe gibt es ader nur die Folge [mm] a_n [/mm] von komplexen Zahlen.
Was setze ich für Dein erwähntes b????
Gruß Didi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Do 15.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Bei der allgemeinen Definition von linear oben hätte man die Abbildung A ja auch nur als A(x) =.... gegeben, d.h. ein y gibt es da auch nicht. Man soll dann ja auch zwei ganz beliebige Vektoren x und y betrachten.
In dieser Aufgabe bedeutet das dann, dass ich zwei beliebige Folgen [mm] [a_n] [/mm] und [mm] [b_n] [/mm] betrachten soll, auf die dann die Abbildung angewandt wird.
Die Bezeichnungen könnte man auch anders wählen, z.B. [mm] [x_n] [/mm] und [mm] [y_n] [/mm] oder [mm] [hin_z] [/mm] und [mm] [kun_z] [/mm] (dann aber mit [mm] A([hin_z]) [/mm] = [z [mm] \cdot hin_z]) [/mm] man muss nur bei Anwendung von A die Bezeichungen entsprechend anpassen.
Kurz gesagt: das b ist auch nur eine weitere ganz beliebig gewählte Folge (genauso wie im anderen Teil von a) [mm] \lambda [/mm] ein ganz beliebig gewählter Skalar ist).
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Do 15.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Besten Dank für deinen Beitrag piet.
Vielleicht kann ich Dir auch mal eine Stein über den Gartenzaun werfen!
Gruß Didi_160
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 Do 15.06.2006 | | Autor: | Jan_Z |
Hiermit ist Didis letzte Frage (die keine war) beantwortet 
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