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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 10:31 Sa 02.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho!
Hier nochmal eine Aufgabe aus der Bundesrunde. SChreibt es irgendeinem Bereich zu, ich weiß es nicht so recht einzuordnen 
Aufgabe:
Man beweise: Für jede natürliche Zahl [mm] $n\geq [/mm] 2$ und für je $n$ im Intervall [mm] $0\leq x\leq [/mm] 1$ definierte Funktionen [mm] $f_i, i\in [/mm] [n]$ gibt es reelle Zahlen [mm] $a_i, i\in [/mm] [n]$ mit [mm] $0\leq a_i\leq [/mm] 1$ , für die [mm] $|a_1\cdot a_2\cdots a_n-\summe_{i=1}^{n}{f_i(a_i)}|\geq\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}$
[/mm]
Viel Spaß :-P
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:59 Sa 02.10.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
HI Hanno
Erlich gesagt, vesteh ich die Aufgabe nicht wirklich. Liegt vieleicht daran, dass es noch so früh am morgen ist  .
[mm]f_i, i\in [n][/mm] könntest du mir die erklären, was die Schreibweise [n] bedeutet. Und - ähm -was das n angeht, das muss wohl auch eine natürliche Zahl sein, oder?
Könntest du vielleicht ein paar Beispiele für n=2;3;4 reistellen, ich glaube das die Aufgabe dann klarer wird.
Gruß Samuel
- ich bin verwirrt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:30 Sa 02.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Samuel!
Ich als schreibfauler Mensch habe
[mm] $f_i, i\in[n]$ [/mm] an Stelle von [mm] $f_1, f_2, [/mm] ..., [mm] f_n$ [/mm] geschrieben. Das $[n]$ bedeutet nichts weiter als [mm] $\{1,..,n\}$.
[/mm]
Beispiele kann ich dir leider nicht geben, ich habe von der aufgabe bisher genau so wenig Ahnung wie du
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:36 Sa 02.10.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
HI Hanno
Ich glaube, dass das jetzt so weit klar ist. mit dem [n]
Das einzige was ich noch nicht verstehe ist das mit den Fuktionen.
Es ist doch eigentlich völlig trivial, dass es Fuktionen gibt, für Die Forderung erfüllt wird. Ich müsste doch nur z.B. [mm] f_1(a_1)=1000000000000000 [/mm] setzen, und der Betrag auf der rechten seite wäre bestimmt größer als die linke seite, Oder ist die Aufgabe so zu versehen, dass die Ungleichung bei jeder vorgegebenen Funktion stimmt, aber dies würde dann bei Fuktionen wie der Gauschen-Summenfuktion, der ich jedem [mm] a_1 [/mm] < 1 die 0 zuordne wiedersprechen schnell auf Gegenbeispiele führen. Oder sind hier vielmehr nur Gebrochen oder Ganzranzionale Fuktionen gefragt???
Tut mir leid, wenn ich jetzt völlig verplant erscheine, und hier nur schwachsinn rede. Aber ich kann mit der Aufgabe wirklich nichts anfangen.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:58 Sa 02.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Samuel!
Ich glaube, dass man die Behauptung für alle Funktionen [mm] $f_i$ [/mm] beweisen soll, also man irgendwelche Funktionen [mm] $f_i$ [/mm] als gegeben ansehen soll.
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:51 So 03.10.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
Hi Hanno
Und ich bin immer noch stur und will die Aufgabenstellung einfach nicht verstehen
Wenn ich sowohl alle [mm] a_i [/mm] als auch sämtliche [mm] f_i(a_i) [/mm] als gegeben vorraussetze, bedeutet, die Ungleichung
[mm] $|a_1\cdot a_2\cdots a_n-\summe_{i=1}^{n}{f_i(a_i)}|\geq\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}$ [/mm]
Doch eigentlich nur, dass das Produkt von n reellen Zahlen kleiner 1 minus Die Summe von irgentwelchen beliebigen reellen Zahlen dem Betrage nach immer größter sein soll als 1/2-1/2n. Da alle [mm] a_i [/mm] und [mm] f_i(a_i) [/mm] beliebig sind, kann ich die linke seite auch als |x-y| darstellen, wobei x<1 und y eine beliebige reelle Zahlen wären, und die rechte Seite der Ungleichung ist in keiner Weise mehr mit der linken "verkoppelt". SO wäre die Aufgabe aber vollkommen sinnlos.
Die einzige sinvolle Frage, die mir zu dieser Ungleichung einfällt, wäre "Für welche Funktionen f bzw. Funktionsscharen [mm] f_i [/mm] gilt die Ungleichung?"??
Ich bin nach wie vor vollkommen verwirrt. Kennst du eigentlich die Lösung??? Denn aus ihr würde die Aufgabenstellung klar werden.
Gruß Samuel
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Also ich hab auch ein Problem mit der Aufgabenstellung.
Wenn für n beliebige auf dem Intervall [0;1] definierte Funktionen die Ungleichungen gelten soll, dann habe ich folgendes Gegenbeispiel:
Man nehme sich aus [0;1] jeweils beliebig die [mm] a_i [/mm] heraus mit Ausnahme von [mm] a_n.
[/mm]
Anschließend definiere man [mm] f_n [/mm] mit [mm]S=\sum_1^{n-1}f_i(a_i)[/mm] wie folgt:
[mm]f_n(x)=a_1\cdot a_2\cdot\dots\cdot a_{n-1}\cdot x\ -\ S[/mm]
Damit ist das Argument des Betrages gleich Null, was der Ungleichung widerspricht.
Durch diese Konstruktion ist gezeigt, dass egal für welche [mm] a_1 [/mm] bis [mm] a_n [/mm] immer ein Funktionentupel existiert, was die verlangte Eigenschaft nicht besitzt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:57 So 03.10.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
hi
Ich glaube, ich weiß jetzt, wie das gemeint ist.
Und zwar, sind n verschiedene Funktionen gegeben [mm] (f_1 [/mm] bis [mm] f_n). [/mm] Und jetzt soll gezeigt werden, dass -egal wie diese Funktionen aussehen- es mindestens eine Möglichkeit gibt, mit bestimmten Werten [mm] (a_1 [/mm] bis [mm] a_n) [/mm] die man in die Fuktionen einsetzt, sodass diese die Ungleichung erfüllen. Das heißt also, zu zeigen, dass es eine Möglichkeit gibt, wie die Ungleichung nicht erfüllt wird hilft einem nicht weiter, da die Suche nach einer Möglichkeit gesucht ist, die die Ungleichung immer erfüllt! Das bedeutet ferner auch, dass die Werte [mm] a_1 [/mm] bis [mm] a_n [/mm] nicht als gegeben angesehen werden dürfen, wie ich es bisher getan habe.
Ich hoffe, dass ich die Aufgabe jetzt endlich richtig verstanden habe, und mich nun endlich auf den Beweis konzentrieren kann!
Mich würde bevor ich an den Beweis ran mache aber noch interessieren, ob die Fuktionen ganzrational; gebrochenration; exponential; .... sein können, oder ob man sich auf einen Fuktionstypen beschränken kann. Ich denke hierbei an ganzrationale.
Ich finde die Aufgabe allerdings immer noch eigenartig
Gruß Samuel
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Das klingt plausibel.
Dann ist da, was ich geschrieben habe Schrott.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Grüß dich Samuel!
Du hast die Aufgabe jetzt richtig verstanden. Leider kann ich dir zu den Funktionen nichts sagen, da die Aufgabenstellung so knapp ist, wie ich sie euch geschildert habe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß,
Hanno
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
Hi Hanno
Ich bin erstmal froh, dass ich die Aufgabe jetzt richtig verstanden habe!!!
Dass die Funktionen nicht als ganzrational o.ä. beschrieben sind ist weniger problematisch, sondern gibt vielmehr einen Hinweis auf die Lösung, dass diese ganz allgemeiner Natur sein muss. Man muss die Aufgabe also wohl mit Schubfachprinzip oder per Wiederspruch beweisen.
Gruß Samuel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Fr 08.10.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo Hanno!
Ich führe den Beweis indirekt.
Seien [mm] f_{1},...,f_{n} [/mm] n Funktionen von [0;1] nach R.
Im folgenden Bezeichne a = [mm] (a_{1},...,a_{n}) [/mm] ein Element aus [mm] [0;1]^{n} [/mm] und es seien
F: [mm] [0;1]^{n} [/mm] --> R, a --> F(a) := [mm] f_{1}(a_{1}) [/mm] + ... + [mm] f_{n}(a_{n}) [/mm]
X: [mm] [0;1]^{n} [/mm] --> R, a --> X(a) := [mm] a_{1}*...*a_{n}
[/mm]
Behauptung: Für alle a ist |F(a) - X(a)| < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2n}
[/mm]
Nun:
Für a1 := (1,...,1) gilt:
|F(a1) - X(a1)| = |F(a1) - 1| < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2n}
[/mm]
==> (I) F(a1) > [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2n}
[/mm]
Für a2 := (1,...,1,0,1,...,1) gilt (die 0 an der i-ten Stelle):
|F(a2) - X(a2)| = |F(a2) - 0| < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2n}
[/mm]
==> (II) F(a2) < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2n}
[/mm]
Aus (I) und (II) folgt
==> F(a1) - F(a2) > [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Aus der Definition von F folgt:
==> (III) [mm] f_{i}(1) [/mm] - [mm] f_{i}(0) [/mm] > [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Und das gilt für alle i aus {1,...,n}
Für a2 := (1,...,1,0,1,...,1) gilt:
|F(a2)| = |F(a2) - X(a2)| und daher:
(IV) |F(a2)| < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2n}
[/mm]
Für a3 := (0,...,0) gilt:
|F(a3)| = |F(a3) - X(a3)| und daher:
(V) |F(a3)| < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2n}
[/mm]
Aus (IV) und (V) folgt:
|F(a2) - F(a3)| < 1 - [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Aus der Definition von F folgt daraus:
(VI) [mm] |f_{1}(1) [/mm] - [mm] f_{1}(0) [/mm] + [mm] f_{2}(1) [/mm] - [mm] f_{2}(0) [/mm] + ...+ [mm] f_{n}(1) [/mm] - [mm] f_{n}(0) [/mm] - [mm] f_{i}(1) [/mm] + [mm] f_{i}(0)| [/mm] < 1 - [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Wegen (III) gilt aber für diesen Term
[mm] |f_{1}(1) [/mm] - [mm] f_{1}(0) [/mm] + [mm] f_{2}(1) [/mm] - [mm] f_{2}(0) [/mm] + ... [mm] +f_{n}(1) [/mm] - [mm] f_{n}(0) [/mm] - [mm] f_{i}(1) [/mm] + [mm] f_{i}(0)| [/mm] > [mm] \bruch{n-1}{n} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
- im Widerspruch zu (VI), weswegen die Behauptung zu Beginn falsch war.
Gruß Clemens
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Fr 08.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Clemens!
Ich kann mich Stefan nur anschließen, eine wahnsinns Leistung - ich habe den Beweis jetzt halbwegs verstanden, aber auf ihn zu kommen, diese Leistung traue ich mir wirklich nicht zu und bin sehr beeindruckt - toll!
Klasse, dass wir noch einen Schüler in diesem Forum haben, der sich mit den Aufgaben befasst und solch kreative und geniale Lösungen entwickeln kann!
Liebe Grüße und größten Respekt,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Fr 08.10.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo stefan und hanno!
Vielen Dank für eure Begeisterung!
Ich habe mir auch - kurz nachdem die Aufgabe hier gestellt wurde - die Zähne an der unfruchtbaren Idee einer vollständigen Induktion ausgebissen. Beim zweiten Versuch heute Mittag stellte ich mir die Funktion F für n = 2 vor und kam dann auf die entscheidende Idee. Der Schritt zur Verallgemeinerung war dann einfach.
Mit lieben Grüßen
Clemens
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Hi Clemens,
bin erst heute wieder ins Mathe-Forum gekommen.
Hut ab muss ich sagen.
![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]")
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![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]"){kind=small}
![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]"){kind=small}
