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Forum "Schul-Analysis" - Bruch aufleiten ,aber wie?
Bruch aufleiten ,aber wie? < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Bruch aufleiten ,aber wie?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:25 Fr 18.11.2005
Autor: lenkrad1000

Hallo Leute

Also eines vorweg, ich bin ganz neu hier, hab also noch wenig Erfahrung. Ich hab da ein Problem und zwar soll bzw. will ich jetzt bei einer Aufgabe den Bruch [mm] \bruch{x^{2}-4}{x+3} [/mm] aufleiten, um das Integral berechnen zu können.Hab schon so einiges probiert, aber es haut nicht hin. Zuerst habe ich den Nenner mit hoch -1 nach oben geholt, aber gebracht hat es mir nicht viel...

Vielen Dank im Vorraus

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
        
Bezug
Bruch aufleiten ,aber wie?: erst Polynomdivision (edit.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:43 Sa 19.11.2005
Autor: Loddar

Hallo lenkrad1000,

[willkommenmr] !!


Brüche (bzw. gebrochen-rationale Funktionen) lassen sich im allgemeinen nur integrieren, wenn der Zählergrad echt kleiner ist als der Nennergrad.

Das ist bei Deinem genannten Beispiel nicht der Fall. Daher musst Du zunächst eine MBPolynomdivision durchführen:

[mm] $\left(x^2-4\right) [/mm] \ : \ (x+3) \ = \ ...$


Dabei entsteht dann auch ein Restterm [mm] $\bruch{A}{x+3}$ [/mm] , den Du dann per MBPotenzregel als Grundintegral integrieren kannst:

[mm] $\bruch{A}{x+3} [/mm] \ = \ [mm] A*(x+3)^{-1}$ [/mm]


Gruß
Loddar

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Bezug
Bruch aufleiten ,aber wie?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:56 Sa 19.11.2005
Autor: lenkrad1000

Hallo Loddar!

Vielen Dank für deine Antwort! Also wenn ich Dich richtig verstehe, muss ich eine Polynomdivision machen, bei der ich auf folgendes Ergebnis komme:

[mm] (x^{2}-4) [/mm] : (x+3) = x+3
[mm] -x^{2}+3x-4 [/mm]
              3x-4
             -3x-9
                 -13

Es bleibt also, wenn ich richtig gerechnet habe, der Teil A= -13 übrig.
Danach muss ich ja nur noch nach deiner Anweisung vorgehen, nämlich im Sinne der Potenzregel umschreiben:

Also: [mm] -13(x+3)^{-1} [/mm]

Allerdings muss doch jetzt erst aufgeleitet werden?! Es handelt sich doch nur um eine Umschreibung, oder ist diese Umschreibung praktisch schon die AUFLEITUNG???

Vielen Dank für Deine Mühe

David
              


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Bruch aufleiten ,aber wie?: jetzt erst Integration
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:10 Sa 19.11.2005
Autor: Loddar

Guten Morgen David!


> [mm](x^{2}-4)[/mm] : (x+3) = x+3
> [mm]-x^{2}+3x-4[/mm][/u]
>                3x-4
>              -3x-9
>                   -13
>

[notok] Hier hast Du Dich verrechnet ... Du musst ja im ersten Schritt rechnen:

[mm] $x^2-4 [/mm] \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \left(x^2 + 3x\right) [/mm] \ = \ [mm] x^2-4 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] \ [mm] \red{-} [/mm] \ 3x \ = \ [mm] \red{-}3x-4$ [/mm]


Ich erhalte als Ergebnis der MBPolynomdivsion  $... \ = \ x-3 + [mm] \bruch{5}{x+3}$ [/mm]



> Allerdings muss doch jetzt erst aufgeleitet werden?!

[daumenhoch] Genau ...



> Es handelt sich doch nur um eine Umschreibung, oder ist diese
> Umschreibung praktisch schon die AUFLEITUNG???

Völlig richtig, das ist lediglich eine Umformung bzw. Umschreibung der Funktionsvorschrift gewesen.

Die Integration kommt erst jetzt ...


Gruß
Loddar

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Bezug
Bruch aufleiten ,aber wie?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:23 Sa 19.11.2005
Autor: lenkrad1000

Okay, habs vorher gemerkt, aber der Beitrag war schon reserviert, Du hast völlig recht! Aber WIE leite ich denn nun konkret auf??? ( Die Regel kenne ich schon: [mm] x^{n+1}: [/mm] (n+1)   )

also erstmal:

5{(x-3)}^-1

Wie sieht denn aber dann die Aufleitung aus?? Das hoch -1 müsste ja eigentlich wegfallen und in der Schule haben wir gelernt, dass die Klammer NICHT aufleitet wird!!! Folglich müsste dann die Aufleitung ja 5(x-3) lauten, was aber nicht sein kann, da die Ableitung von 5(x-3) ja nicht unser voriges Ergebnis ergibt....
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Bruch aufleiten ,aber wie?: Mein Fehler ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:52 Sa 19.11.2005
Autor: Loddar

Hallo David!


> Wie sieht denn aber dann die Aufleitung aus??

[peinlich] Hier habe ich Dir heute Nacht etwas Blödsinn erzählt ... [sorry] !!


Dieses Integral hat natürlich nichts mit der MBPotenzregel zu tun, schließlich gilt diese ja ausdrücklich nur für $n \ [mm] \not= [/mm] \ -1$ !


Hier solltest Du folgendes Grundintegral kennen (bzw. kennst Du die Ableitung der [mm] $\ln$-Funktion?) [/mm] :

[mm] $\integral{\bruch{1}{z} \ dz} [/mm] \ = \ [mm] \ln|z| [/mm] \ + \ C$


Kommst Du damit nun weiter?


Gruß
Loddar

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Bezug
Bruch aufleiten ,aber wie?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:06 Sa 19.11.2005
Autor: lenkrad1000

Ja, diese Schreibweise ist mir bekannt.

Dann heißt das ja dann bei meiner Aufgabe konkret:

ln (x+3) +C

Ich nehme an, dass das C für den Zähler steht, was dann bei mir bedeutet, dass ich für C=5 einsetze, oder?

Meine Aufleitung lautet dann also:

ln (x+3) + 5

Ist die Aufleitung somit korrekt??

Insgesamt lautet die Aufleitung für den kompletten Term
[mm] \bruch{x^{2}-4}{x+3} [/mm]   somit also dann:

[mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] - 3x + ln (x+3) +5

Stimmt das nun so??

Vielen Dank, David
Bezug
                                                        
Bezug
Bruch aufleiten ,aber wie?: Integrationskonstante
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:16 Sa 19.11.2005
Autor: Loddar

Hallo David!


> ln (x+3) +C

Fast ... siehe unten!


  
> Ich nehme an, dass das C für den Zähler steht, was dann bei
> mir bedeutet, dass ich für C=5 einsetze, oder?

[notok] Nein! Das $C_$ ist die Integrationskonstante, die wir der Vollständigkeit halber angeben müssen, da wir hier ein unbestimmtes Integral betrachten.


Den Wert im Zähler behandeln wir wie einen konstanten Faktor, der beim Intergrieren erhalten bleibt [mm] ($\rightarrow$ [/mm] MBFaktorregel):

[mm] $\bruch{5}{x+3} [/mm] \ = \ [mm] 5*\bruch{1}{x+3}$ [/mm]


Gruß
Loddar

Bezug
                                                                
Bezug
Bruch aufleiten ,aber wie?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:30 Sa 19.11.2005
Autor: lenkrad1000

Alles klar, danke Loddar, ich melde mich , wenn ich nicht weiterkommen sollte.

Vielen Dank für deine gute und vorallem schnelle Hilfe!!!!

Gruß, David
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