Bruch Integrieren < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Mi 05.11.2014 | | Autor: | Mino1337 |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{h}{\bruch{h-z}{z} dz} [/mm] |
Hallo,
Obiges Integral bereitet mir Kopfschmerzen ...
Die Korrekte Lösung für das Integral von [mm] \bruch{h-z}{z} [/mm] ist
[mm] z-\bruch{z^{2}}{2h}
[/mm]
Ich komme einfach nicht darauf wie ich zu dieser Lösung komme, das einzige das mir eingefallen ist ist folgendes:
[mm] \bruch{h-z}{z}=\bruch{h}{h}-\bruch{z}{h}=1-\bruch{z}{h}=1-\bruch{1}{h}*z [/mm] und dann
[mm] \integral_{}^{}{1-\bruch{z}{h} dz}=1-\bruch{1}{h}*z [/mm] dz [mm] =\integral_{}^{}{1 dz}+\integral_{}^{}{-\bruch{z}{h}dz}=1-\bruch{\bruch{1}{h}}{2}*z^{2}=1-\bruch{z^{2}}{2h}
[/mm]
wann wird denn die 1 zum z ? Könnte mir das jemand bitte Erklären ?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Mi 05.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\integral_{0}^{h}{\bruch{h-z}{z} dz}[/mm]
> Hallo,
>
> Obiges Integral bereitet mir Kopfschmerzen ...
>
> Die Korrekte Lösung für das Integral von [mm]\bruch{h-z}{z}[/mm]
> ist
>
> [mm]z-\bruch{z^{2}}{2h}[/mm]
>
> Ich komme einfach nicht darauf wie ich zu dieser Lösung
> komme, das einzige das mir eingefallen ist ist folgendes:
>
> [mm]\bruch{h-z}{z}=\bruch{h}{h}-\bruch{z}{h}=1-\bruch{z}{h}=1-\bruch{1}{h}*z[/mm]
kann das sein, dass Du oben anstatt
[mm] $\frac{h-z}{\red{z}}$
[/mm]
eigentlich
[mm] $\frac{h-z}{\blue{h}}$
[/mm]
schreiben wolltest? Ansonsten ist obige Lösung Quatsch, und der Integrand
passt auch nicht zu Deiner obigen letzten Rechnung...
> und dann
>
> [mm]\integral_{}^{}{1-\bruch{z}{h} dz}=1-\bruch{1}{h}*z[/mm] dz
Was für eine wilde Notation - ich hoffe, Dir ist klar, dass da rechts was fehlt...
> [mm]=\integral_{}^{}{1 dz}+\integral_{}^{}{-\bruch{z}{h}dz}=1-\bruch{\bruch{1}{h}}{2}*z^{2}=1-\bruch{z^{2}}{2h}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> wann wird denn die 1 zum z ? Könnte mir das jemand bitte
> Erklären ?
Ja, die Lösung ist Quatsch, Dein Ansatz aber durchaus gut, Du vergisst nur,
dass
$\int 1dz=\left\{x \mapsto x\}$
ist, und NICHT
$\int 1 dz=\left\{x \mapsto 1\right\}\,.$
Und man könnte auch so rechnen:
$\int_0^h \frac{h-z}{h}dz=\frac{1}{h} \int_0^h (h-z)dz=\frac{h}{h}*\int_0^h 1dz -\frac{1}{h}\int_0^h zdz=\big[z\big]_{z=0}^{z=h} -\frac{1}{h}\left[\frac{1}{2}z^2\right]_{z=0}^{z=h}$
$=(h-0)-\frac{1}{2h}(h^2-0^2)=h-\frac{h}{2}=h/2\,.$
Und wenn es *nur* um eine Stammfunktionsangabe ginge, würde man etwa
$\int \frac{h-z}{h}dz=...=\left\{z \mapsto \blue{z-\frac{1}{2}*\frac{z^2}{h}}\right\}$
schreiben. (Die rechte Seite schreibt man normalerweise *kürzer*, wenngleich
obiges auch schon eine *gekürzte* Kurzversion ist...).
P.S. Um es nochmal GANZ DEUTLICH zu machen:
$\int 1dz=z$ (bzw. $=\{z \mapsto z\}$)
D.h. $f(z)=z\,$ ist (EINE(!) Nicht(!!!) DIE!) Stammfunktion von
$g(z) \equiv 1\,.$
P.P.S. $\{...\}$ meinen oben KEINE Mengenklammern!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:29 Mi 05.11.2014 | | Autor: | Mino1337 |
Ahhh ... ist [mm] \integral_{}^{}{1 dz}={z} [/mm] eine Stammfunktion die man Nachschlagen muss? Weil mit den üblichen integrationsregeln kommt man da ja nicht hin meines erachtens.
Ansonsten Danke =D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 Mi 05.11.2014 | | Autor: | Thomas_Aut |
> Ahhh ... ist [mm]\integral_{}^{}{1 dz}={z}[/mm] eine Stammfunktion
> die man Nachschlagen muss? Weil mit den üblichen
> integrationsregeln kommt man da ja nicht hin meines
> erachtens.
????????
Was meinst du damit?
>
> Ansonsten Danke =D
Gruß, Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 Mi 05.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> > Ahhh ... ist [mm]\integral_{}^{}{1 dz}={z}[/mm] eine Stammfunktion
> > die man Nachschlagen muss? Weil mit den üblichen
> > integrationsregeln kommt man da ja nicht hin meines
> > erachtens.
>
> ????????
>
> Was meinst du damit?
ich weiß, was er meint, aber eigentlich ist Deine Rückfrage eine gute Frage.
Denn bislang habe ich noch nirgends gesehen, dass bewiesen wurde, dass
eine Funktion eine Stammfunktion ist, indem im Beweis steht:
Beweis durch Nachschlagen!
Nebenbei (@ Mino1337): Auch die "Stammfunktionen, die man nachschlagen
kann/soll", sind nicht einfach vom Himmel gefallen. Dahingehend gab es
schon eine mathematische Herleitung oder einen mathematischen Beweis,
der sie als das, was sie sind, kennzeichnete. Meist stehen da aber einfach
"Erinnerungen" (weil man nicht alles immer neu herleiten/beweisen will),
aber oftmals ist der eigentliche Sinn einfach nur, dass die Herleitung/ der
Beweis so aufwändig ist, dass man ihn nicht mal eben aus dem Ärmel
schütteln könnte.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 Do 06.11.2014 | | Autor: | Thomas_Aut |
Hallo,
> Hi,
>
> > > Ahhh ... ist [mm]\integral_{}^{}{1 dz}={z}[/mm] eine Stammfunktion
> > > die man Nachschlagen muss? Weil mit den üblichen
> > > integrationsregeln kommt man da ja nicht hin meines
> > > erachtens.
> >
> > ????????
> >
> > Was meinst du damit?
>
> ich weiß, was er meint, aber eigentlich ist Deine
> Rückfrage eine gute Frage.
Ich wusste auch was er meint, aber ich war verwundert, dass :
[mm] $\integral [/mm] 1dz = z $ - nicht klar ist.
Falls Mino1337 das noch liest:
Überlege dazu , dass [mm] $\frac{dz}{dz} [/mm] = z' = 1$ ist.
Also : Dazu ist keine Tabelle mit Stammfunktionen nötig :)
Gruß Thomas
> Denn bislang habe ich noch nirgends gesehen, dass bewiesen
> wurde, dass
> eine Funktion eine Stammfunktion ist, indem im Beweis
> steht:
>
> Beweis durch Nachschlagen!
>
> Nebenbei (@ Mino1337): Auch die "Stammfunktionen, die man
> nachschlagen
> kann/soll", sind nicht einfach vom Himmel gefallen.
> Dahingehend gab es
> schon eine mathematische Herleitung oder einen
> mathematischen Beweis,
> der sie als das, was sie sind, kennzeichnete. Meist stehen
> da aber einfach
> "Erinnerungen" (weil man nicht alles immer neu
> herleiten/beweisen will),
> aber oftmals ist der eigentliche Sinn einfach nur, dass
> die Herleitung/ der
> Beweis so aufwändig ist, dass man ihn nicht mal eben aus
> dem Ärmel
> schütteln könnte.
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 Mi 05.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ahhh ... ist [mm]\integral_{}^{}{1 dz}={z}[/mm] eine Stammfunktion
> die man Nachschlagen muss? Weil mit den üblichen
> integrationsregeln kommt man da ja nicht hin meines
> erachtens.
bitte was?
[mm] $\int [/mm] 1dz=z$
gilt offensichtlich, weil [mm] $z'=\frac{dz}{dz}=1\,.$
[/mm]
Nebenbei: Konstante Funktionen sollte man schon integrieren können.
Du darfst natürlich auch
[mm] $\int [/mm] 1 [mm] dz=\int z^0dz=\frac{1}{0+1}z^{0+1}$
[/mm]
gemäß der Regel
[mm] $\int z^ndz=\frac{1}{n+1}z^{n+1}$
[/mm]
anwenden - das gilt für alle $n [mm] \not=-1\,.$
[/mm]
Und ja: Integrationskonstanten dürfen ergänzt werden, ich habe sie der
Faulheit wegen weggelassen, was ich auch damit begründen könnte, dass
ich nur die Klasse aller Stammfunktionen durch einen Repräsentanten
darstellen will.
Anders gesagt:
[mm] $\int [/mm] f(x)dx$
bedeutet für mich (hier) nur, dass ich damit EINE Stammfunktion von [mm] $f\,$
[/mm]
bezeichne... Natürlich sind Stammfunktionen nicht eindeutig, sondern i.a.
nur eindeutig bis auf eine additive konstante Funktion...
P.S. Frage an Dich: Was ist also
[mm] $\int \pi [/mm] dz$? (Bis auf eine additive Konstante...)
Gruß,
Marcel
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