Brownsche Bewegung, Infimum < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm]B(s)[/mm] eine standardisierte Brownsche Bewegung. Seien [mm]u,c>0[/mm] Konstanten und [mm]\frac{1}{2}s[/mm]. Dann gilt:
[mm] P\bigg\{\inf_{s\ge t^{-2H}} \left( ut^{-2H}+ct^{1-2H}+B(t^{-2H}) \qquad +B(s)-B(t^{-2H})+u(s-t^{-2H}) \right)<0\bigg\}
[/mm]
ist äquivalent zu
[mm]\displaystyle \frac{t^H}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{-ct^{1-2H}-ut^{-2H}}\mathrm{e}^{-\frac{t^{2H}x^2}2}\mathrm{d}x \qquad
+\frac{t^H}{\sqrt{2\pi}}\int_{-ct^{1-2H}-ut^{-2H}}^{\infty}
\mathrm{e}^{-2u\left(ct^{1-2H}+ut^{-2H}+x\right)-\frac{t^{2H}x^2}2}\mathrm{d}x[/mm] |
Hallo,
ich habe obige Stelle aus einem Beweis und habe keine Ahnung, wie man darauf kommt. Nützliche Beziehungen, die man verwenden muss, sind noch:
[mm]P\left\{\inf_{s\ge 0}\big(u+cs+B(s)\big)<0\right\}=\mathrm{e}^{-2uc}[/mm]
sowie:
[mm] 1-\Phi(x)\sim x^{-1}\phi(x) [/mm] für [mm] x\to\infty
[/mm]
und
[mm] 1-\Phi\left(x+\frac{y}{x}\right) \sim [1-\Phi(x)]\mathrm{e}^{-y} [/mm] für festes [mm] \var{y} [/mm] und [mm] x\to\infty [/mm] .
Wobei [mm] \phi [/mm] und [mm] \Phi [/mm] die gebräuchlichen Notationen für Dichte- und Verteilungsfunktion einer standardisierten Normalverteilung sind.
Falls jemand einen Tipp für mich hat, dann nur her damit. Wenn die Frage zu unspezifisch ist, dann teilt es mir mit, dann ändere ich sie. Vielen Dank zumindest schonmal fürs Lesen. 
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 25.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
