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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Di 22.05.2012 | | Autor: | Fry |
Hallo,
könnte mir jemand sagen, ob meine Ausführungen richtig sind? Es geht vor allem um die letzten Schritte.
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG
Fry
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hi Fry,
warum ich dein Thema jetzt erst gesehen hab, ist mir ein Rätsel....
also die Doobsche Maximalungleichung geht nicht für [mm] $\sup_{t \ge 0}$, [/mm] sondern nur für [mm] \sup_{\{0 \le t \le n\}}
[/mm]
Das ändert zwar nur geringfügig etwas, aber dein [mm] X_\infty [/mm] muss ja auch gar nicht existieren (und existiert auch nicht beim Exponentialmartingal).
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:24 So 03.06.2012 | | Autor: | Fry |
Hey Gono,
vielen Dank für deinen Beitrag! Das mit der Doobschen Ungleichung hab ich mir schon fast gedacht *seufz* Warum existiert denn [mm] M_{\infty} [/mm] nicht. Dachte gerade, dass OS-Theorem die Existenz sichert...
Irgendeine Idee, wie man die Argumentationslücke schließen könnte?
VG
Fry
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Hiho,
> vielen Dank für deinen Beitrag! Das mit der Doobschen
> Ungleichung hab ich mir schon fast gedacht *seufz* Warum
> existiert denn [mm]M_{\infty}[/mm] nicht. Dachte gerade, dass
> OS-Theorem die Existenz sichert...
Nein.
Das Exponentialmartingal geht [mm] $\IP$-f.s. [/mm] gegen Null.
Wäre das nun dein [mm] $M_\infty$, [/mm] so wäre Insbesondere $0 = [mm] E[M_\infty] [/mm] = [mm] E[M_0] [/mm] = 1$, was ein Widerspruch wäre.
> Irgendeine Idee, wie man die Argumentationslücke
> schließen könnte?
Ja.
Mach aus dem [mm] $\sup_{t \ge 0}$ [/mm] erstmal ein [mm] $\lim_{n\to\infty}\sup_{0 \le t \le n}$ [/mm] und überlege dann, warum du es aus dem [mm] \IP [/mm] herausziehen kannst.
Der Rest folgt dann mit deiner Argumentation und Doob analog.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 So 03.06.2012 | | Autor: | Fry |
Hey Gono,
also ich würde das dann so machen:
[mm] $P(\lim_{n\to\infty}\sup_{0\le t\le n}X_n\ge e^{\varepsilon a})
[/mm]
[mm] \overset{(1)}{=} \lim_{n\to\infty} P(\sup_{0\le t\le n}X_n\ge e^{\varepsilon a})
[/mm]
[mm] =\lim_{n\to\infty} \mathbb E[X_n]e^{-\varepsilon a}\overset{(2)}{=}e^{-\varepsilon a}$
[/mm]
(1) wegen der Stetigkeit von oben
(2) da [mm] $\mathbb E[e^{\varepsilon B_n}]=e^{\frac{1}{2}\varepsilon^2n}$
[/mm]
Was hälst du davon?
LG
Fry
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Hiho,
> (1) wegen der Stetigkeit von oben
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (2) da [mm]\mathbb E[e^{\varepsilon B_n}]=e^{\frac{1}{2}\varepsilon^2n}[/mm]
oder besser: [mm] $E[X_n] [/mm] = [mm] E[X_0] [/mm] = 1$, da [mm] X_n [/mm] Martingal
> Was hälst du davon?
(1) und (2) stimmen. Nur das Gleichheitszeichen dazwischen nicht. Das muss ein Ungleichungszeichen sein nach Doob. Nur welches? 
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 So 03.06.2012 | | Autor: | Fry |
Verstanden :),
ein groooßes Dankeschön!
LG
Fry
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