Brownsche Bewegung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 So 13.11.2011 | | Autor: | kalor |
Hi zusammen
Hm...wir haben ein kurze Einführung in Brownsche Bewegung gehabt, die wir wie folgt definiert haben:
Eine Brownsche Bewegung zu einem Wahrscheinlichkeitsmass $ P $ und Filtration $ [mm] \{\mathcal{F}_t\} [/mm] $ ist ein reellwertiger stochastischer Prozess $ [mm] \{W_t \} [/mm] $, welcher adaptiert ist, $ [mm] W_0 [/mm] = 0 $ und folgende Bedingung erfültl:
1. Für $ s [mm] \le [/mm] t $ gilt : $ [mm] W_t -W_s [/mm] $ ist unabhänig von $ [mm] \mathcal{F}_s [/mm] $ und normalverteilt mit Mittelwert 0 und Standardabweichung $ t-s $.
2. Die Pfade $ t [mm] \to W_t (\omega) [/mm] $ sind für P-fast alle $ [mm] \omega [/mm] $ setig.
Was ich jetzt nicht so einsehe ist, wieso die $ [mm] W_t [/mm] $ auch normalverteilt ist? Kann mir jemand einen Beweis angeben?
danke, mfg
KalOR
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> Hi zusammen
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> Hm...wir haben ein kurze Einführung in Brownsche Bewegung
> gehabt, die wir wie folgt definiert haben:
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> Eine Brownsche Bewegung zu einem Wahrscheinlichkeitsmass [mm]P[/mm]
> und Filtration [mm]\{\mathcal{F}_t\}[/mm] ist ein reellwertiger
> stochastischer Prozess [mm]\{W_t \} [/mm], welcher adaptiert ist,
> [mm]W_0 = 0[/mm] und folgende Bedingung erfültl:
>
> 1. Für [mm]s \le t[/mm] gilt : [mm]W_t -W_s[/mm] ist unabhänig von
> [mm]\mathcal{F}_s[/mm] und normalverteilt mit Mittelwert 0 und
> Standardabweichung [mm]t-s [/mm].
t-s ist nicht die Standardabweichung, sondern die Varianz.
> 2. Die Pfade [mm]t \to W_t (\omega)[/mm]
> sind für P-fast alle [mm]\omega[/mm] setig.
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> Was ich jetzt nicht so einsehe ist, wieso die [mm]W_t[/mm] auch
> normalverteilt ist? Kann mir jemand einen Beweis angeben?
[mm] W_t=W_t-W_0 [/mm] ist nach Voraussetzung normalverteilt.
Die ganze Konstruktion klappt nur deshalb, weil die Summe unabhängiger normalverteilter Zufallsvariablen wieder normalverteilt ist, also
[mm] $W_s\sim [/mm] N(0,s), [mm] W_t-W_s\sim N(0,t-s)\Rightarrow W_t=W_s+(W_t-W_s)\sim [/mm] N(0,t)$
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> danke, mfg
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> KalOR
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